【专题2】分类讨论思想

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1、2011届数学二轮复习专题辅导专题2专题稱导在手二轮曩习不愁【专题二】分类讨论思想【考情分析】分类讨论思、想是一种重要的数学思、想，它在人的思维发展中冇着璽要的作用，因此在近儿年的高考试题中，他都被列为一•种重要的思维方法来考察。分类讨论是每年高考必考的内容，预测2011年高考对本专题的考察为：将有一道中档或中档偏上的题目，其求解思路直接依赖于分类讨论，特别关注以下方面：涉及指数、对数底的讨论，含参数的一元二次不等式、等比数列求和，山S“求％等。【知识交汇】分类讨论是一种重要的数学思想方法，当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象进行

2、分类，然后对每一类分別研究，给出每一类的结果，最终综合各类结果得到整个问题的解答。1.分类讨论思想就是依据一定的标准，对问题分类、求解，耍特別注意分类必须满足互斥、无漏、最简的原则。有关分类讨论的数学问题需要运用分类讨论思想來解决，引起分类讨论的原因大致可归纳为如下几种:（1）涉及的数学概念是分类讨论的；如绝对值同的定义分“>0、a=0>a<0三种情况。这种分类讨论题型可以称为概念型。再有：肓线的斜率、指数对数函数、肓线与平面的夹角等定义包含了分类；（2）运用的数学定理、公式、或运算性质、法则是分类给出的；如等比数列的前n项和的公式，分q=l和

3、qHl两种情况。这种分类讨论题型可以称为性质型。再有，圆锥1111线的统一淀义中图形的分类等；（3）III实际意义分类。如排列、组合、概率中较常见，但不明显、有些应用问题也需分类讨论；（4）数学问题中含有参变量，这些参变虽:的不同取值导致不同的结果的；如解不等式ax>2时分a>0.a=0和a<0三种情况讨论。这称为含参型。（5）较复杂或非常规的数学问题，需要采取分类讨论的解题策略來解决的。在学习屮也要注意优化策略，有时利用转化策略，如反证法、补集法、变更多元法、数形结合法等简化哄至避开讨论。2.分类讨论是一种逻辑方法，在中学数学中有极广泛的应用

4、。根据不同标准可以有不同的分类方法，但分类必须从同一标准出发，做到不重复，不遗漏，包含各种情况，同时要有利于问题研究；3.分类原则：（1）対所讨论的全域分类要“即不重复，也不遗漏"（2）在同一次讨论中只能按所确定的一个标准进行（3）对多级讨论，应逐级进行，不能越级；4.分类方法：（1）概念和性质是分类的依据（2）按区域（定义域或值域）进行分类是基本方法（3）不定因素（条件或结论不唯一，数值大小的不确定，图形位置的不确定）是分类的突破口（4）二分发是分类讨论的利器（4）层次分明是分类讨论的基本要求；辅导轮复习不愁1.讨论的棊本步骤：（1）确定讨论

5、的对象和讨论的范围（全域）（2）确定分类的标准，进行合理的分类（3）逐步讨论（必要时还得进行多级分类）（4）总结概括，得岀结论；2.简化和避免分类讨论的优化策略：（1）总接回避。如运用反证法、求补法、消参法等方法有时可以避开烦琐讨论；（2）变更主元。如分离参数、变参宜换，构造以讨论对象为变量的函数得便感形式解题时可避开讨论；（3）合理运算。如利用函数奇偶性、变量的对称轮换以及公式的合理选用等有吋可以简化甚至避开讨论；（4）数形结合。利用函数图象、儿何图形的直观性和对称特点有时可以简化甚至避开讨论。【思想方法】题型1：集合中分类讨论问题例1.已知

6、集合“=（a2,a+l,-3）,N=（a-3,2a~l,a2+l},若MHN={_3},则a的值（）A.-1B.0C.1D.2解析：A；VMAN={・3},-3gN={a-3,2a-1,a2+l},若a_3=・3,则a=0,此时M={0,l,—3},N={-3,-1,1},则MAN=（-3,1},故不适合。若2a-l=-3,则a=-l,此时M={1,0,—3},N={-4,—3,2},若a2+l=-3,此方程无实数解。点评：该题结合集合的运算考查了分类讨论思想，分类的标准结合集合的性质：无序性、互异性、确定性。例2.（2010湖北理数）记实数X

7、],冯，£中的最大数为max兀“},最小数为min{x^x2,……xn]o已知ABC的三边长位a,b,c（ci

8、题的关键。题型2：函数、方程中分类讨论问题2r,短半例3.（2007年北京理）如图，有一块半椭圆形钢板，具半轴长为2011届数学二轮复习专题辅导二轮复