2018年高考数学专题02常见函数值域或最值的经典求法黄金解题模板

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1、专题02常见函数值域或最值的经典求法【高考地位】函数值域是函数概念中三要素之一，是高考中必考内容，具有较强的综合性，贯穿整个高中数学的始终.而在高考试卷中的形式可谓千变万化，但万变不离其宗，真正实现了常考常新的考试要求.所以，我们应该掌握一些简单函数的值域求解的基本方法.【方法点评】方法一观察法解题模板：第一步观察函数中的特殊函数;第二步利用这些特殊函数的有界性，结合不等式推导出函数的值域.例1函数/（%）=:的最大值是（）l-x（l-x）c-1D.【解析】因为f{x）=1—x(l—x)4所以.心）的最大值是寸故选D.【变式演练1】求函数/

2、（x）=a/8-2x的值域.【解析】・・・2、＞0,・・・0£8・2《8.・・・0WJ8二故函数f（x）=V8-2X的值域是［0,2^2）.方法二分离常数法解题模板：第一步观察函数/（兀）类型，型如/（兀）二竺工匕；cx+d第二步对函数/（兀）变形成/（%）=-+—^形式；cex+d第三步求出函数3；=—^—在/（兀）定义域范围内的值域，进而求函数/（兀）的值域.cx+d3r+5例2求函数/（%）=出工的值域.x-2【解析】函数/（兀）二^^=弘_6+11=3+丄，根据反比例函数的性质可知：丄工0,所以）心3,x—2x—2兀一2兀一2所以函

3、数的值域为［yy^3］.【变式演练2】求函数y5x-l4x-3的值域.【解析】y=(4x-3)+--1444丸_3_511_44<4x-3)因为占4所T所以函数的值域为｛yyeRRyh：｝斗方法三配方法解题模板：第一步将二次函数配方成y=a｛x-bf+c,第二步根据二次函数的图像和性质即可求出函数的值域.例3定义在/?上的函数/(兀)=(兀+1)(兀+2)(无+3)(x+4)的值域是【解析】由/(兀)=(x+l)(x+2)(x+3)(x+4)=(兀+1)(兀+4)(兀+2)(兀+3)=(x2+5尤+4)(尤2+5x+6)22=(x'+5

4、x)+10(兀2+5兀)+24=(兀彳+5x+5)-1因为…+5』曲I2丿n(兀"+5兀+5)no2所以(兀？+5兀+5)—1^—1即函数/(x)=(x+l)(x+2)(x+3)(x+4)的值域是[-l,+oo)75【变式演练3】已知函数y=x2-3x-4的定义域是[0,m],值域为[---4],则加的収值范围是()4333A.(0,4JB.[-,4]C.[-,3]D.[-,+oo)222【答案】C【解析】试题分析：因二次函数丿=/一3兀一4的对称轴为x，且x=()时，函数值y=-4,当x22253时，),=——，因此当兀=3时，y=—4•

5、故当一5加53,故应选C.•42考点：二次函数的图象和性质.方法四反函数法解题模板：第一步求已知函数的反函数；第二步求反函数的定义域；第三步利用反函数的定义域是原函数的值域的关系即对求出原函数的值域例4设广心)为/(x)=2a-2+

6、,呵0,2］的反函数,则尸/⑴+广心)的最大值为【答案】4【解析】由题竜得：加=2"+扌在［0,2］上单调递増，值域为［右2］,所咲厂匕)在百,2］上单调递増,因此J=/(x)+Z'1(巧在［二2］上单调递增,其最大值为/⑵+严⑵=2+2=4.43x+4【变式演练4】求函数/(x)=——的值域.5兀+6【解析】

7、由原函数式可得:"二^,则其反函数为y=二^,其定义域为何*吉，故所求函数5y—35x—353的值域为方法五换元法解题模板：第一步观察函数解析式的形式，函数变暈较多且相互关联;第二步另新元代换整体，得一新函数，求出新断数的值域即为原断数的值域.例5已知函数y=9Y-2-3v+2,代［1,2］,求该函数的值域.【解析】因为氏［1,2］,所以3隹［3,9］,令心3”,虫［3,9］y二尸一2/+2=(—1『+1,二次函数在［3,9］上为增函数,1=3时，y=5；1=9时，y=65.函数的值域为{刃5£応65}.【变式演练5】若05乂52,求函数)

8、‘=/(兀)=42_3HT+5的值域41i【解析】由题得j=—-3>2x+5=-<22)k-3>2x+5.=一⑵尸―3Q+54至22设E=rv0

9、!].【变式演练6］求函数y=(sinx+l)(cosx+l)，xg匚解析】y=(sinx+lXcosx+1)=sinxcosx+sinx+cosx+1令sinx+cosx=t'