集合间的基本关系讲义

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1、1.1.2集合间的基本关系一、子集（一）子集：对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作AB（或BA），读作“A含于B”（或“B包含A”）BA数学语言表示形式为：若对任意的x∈A有x∈B，则AB子集关系用文氏图表示为：AB（或BA）根据子集的定义，我们可以知道AA，也就是说任何集合都是它本身的一个子集.对于空集，我们规定A，即空集是任何集合的子集。例1：用适当的符号填空0____{0}____{0}2____{2}2____N{2}____N变式练习1：已知A＝{x｜x2－3x

2、＋2＝0}，B＝{1，2}，C＝{x｜x＜8，x∈N}，用适当的符号填空A___________BA___________C{2}__________C2_________C例2：写出集合的所有子集。【解析】集合的所有子集可以分为五类，即：（1）含有0个元素的子集，即空集；（2）含有一个元素的子集：；（3）含有二个元素的子集：；（4）含有三个元素的子集：；（5）含有四个元素的子集：.结论：如果集合A中有n个元素，则集合A共有2n个子集变式练习1：已知集合A＝{x∈N＋︱－1≤x＜4}，则集合A的子集有_________个。【解析】：8个（二）、集合相等：如

3、果集合A是集合B的子集（AB），且集合B是集合A的子集（BA），则集合A与集合B相等，记作集合A＝集合B。即：AB且BA则A＝B。（上节两个集合相等：两个集合的元素完全相同）例3：已知集合A和集合B都是含三个元素的集合，且集合A＝{a，a＋b，a＋2b}，B＝{a，ac，ac2}，若AB且BA，求c的值。【解析】（1）若消去b得：ac2＋a－2ac＝0，a＝0时，集合B中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故a≠0．∴c2－2c＋1＝0，即c＝1，但c＝1时，B中的三元素又相同，此时无解．（2）若消去b得：2ac2－ac－a＝0，∵a≠0，∴2c2－c－

4、1＝0，即(c－1)(2c＋1)＝0，又c≠1，故c＝－。变式练习：已知集合A和集合B都含有三个元素，A＝{x，xy，x－y}，B＝{0，｜x｜，y}，若AB且BA，求2x＋y的值。【解析】：∴由集合的互异性，∴x－y＝0，则x＝y，此时A＝{x，x2，0}，B＝{0，｜x｜，x}，则x2＝｜x｜且x≠x2，故x＝y＝－1，此时A＝{－1，1，0}，B＝{0，1，－1}，符合题意，综上所述，2x＋y＝－3。（三）、真子集：如果集合AB，但存在元素x∈B，且xA，我们称集合A是集合B的真子集。记：AB（或BA）A真含于BB真包含A注意：即如果AB且A≠B，那

5、么集合A是集合B的真子集，记作AB（或BA）。例如{1，2}N、{a，b}{a，b，c}等。子集与真子集的区别在于“AB”允许A＝B或AB，而AB是不允许“A＝B”的，所以如果AB成立，则一定有AB成立；但如果有AB成立，AB不一定成立。空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。例4：分别写出集合{a}，{a，b}和{a，b，c}的所有子集和真子集。集合{a}的子集有，{a}，共有2个子集；真子集有{a}，共1个真子集。集合{a，b}的子集有，{a}，{b}，{a，b}，共有4个子集；真子集有，{a}，{b}，共3个真子集。集合{a，b，c}的子集

6、有：，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，共有8个即个子集；真子集有，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，共7个真子集。结论：如果集合A中有n个元素，则集合A共有2n个子集；2n－1个真子集。例5：有适当的符号填空。（1）A＝{2，3，6}B＝{x︱x是12的约数}A_____B（2）A＝{0，1}B＝{x︱x2＋y2＝1，y∈N}A_____B（3）A＝{x︱－1＜x＜2}B＝{x︱－2＜x＜2}A_____B（4）A＝{(x，y)︱x×y＜0}B＝{(x，y)︱x＞0，y＞0}A_____

7、B（5）A＝{x︱x2＝1}B＝{y︱y2－2y＋4＝0}A_____B【解析】：（1）（2）（3）（4）（5）变式练习1：已知集合A＝{0，1}，B＝{z︱z＝x＋y，x∈A，y∈B}，则B的子集有（）A：8个B：2个C：4个D：7个【解析】：集合B中有3个元素，子集有8个。A变式练习2：已知集合A＝{x∈Z︱}，B＝{y︱y＝x2＋1，x∈A}，则集合B的含有元素1的子集个数为（）A：5B：4C：3D：2【解析】：A＝{x∈Z︱－1≤x＜3}＝{－1，0，1，2}，则B＝{1，2，5}，则集合B的含有元素1的子集有{1}，{1，2}，{1，5}，{1，

8、2，5}共四个，B变式练习3：已知A＝{x︱x＝＋，∈Z}，B＝{