高考数学回归课本教案二次函数与命题

高考数学回归课本教案二次函数与命题

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时间:2019-08-30

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1、高考数学回归课本教案整理:卢立臻第二章二次函数与命题一、基础知识1.二次函数:当0时,y=ax2+bx+c或f(x)=ax2+bx+c称为关于x的二次函数,其对称轴为直线x=-,另外配方可得f(x)=a(x-x0)2+f(x0),其中x0=-,下同。2.二次函数的性质:当a>0时,f(x)的图象开口向上,在区间(-∞,x0]上随自变量x增大函数值减小(简称递减),在[x0,-∞)上随自变量增大函数值增大(简称递增)。当a<0时,情况相反。3.当a>0时,方程f(x)=0即ax2+bx+c=0…①和不等式ax2+bx+c>0…②及ax2+bx+c<0…③与函数f(x)的关系如

2、下(记△=b2-4ac)。1)当△>0时,方程①有两个不等实根,设x1,x2(x1

3、xx2}和{x

4、x1

5、x}和空集,f(x)的图象与x轴有唯一公共点。3)当△<0时,方程①无解,不等式②和不等式③的解集分别是R和.f(x)图象与x轴无公共点。当a<0时,请读者自己分析。4.二次函数的最值:若a>0,当x=x0时,f(

6、x)取最小值f(x0)=,若a<0,则当x=x0=时,f(x)取最大值f(x0)=.对于给定区间[m,n]上的二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0),当x0∈[m,n]时,f(x)在[m,n]上的最小值为f(x0);当x0n时,f(x)在[m,n]上的最小值为f(n)(以上结论由二次函数图象即可得出)。定义1能判断真假的语句叫命题,如“3>5”是命题,“萝卜好大”不是命题。不含逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题叫做简单命题,由简单命题与逻辑联结词构成的命题由复合命题。注1“p或q”复合命题只有当p,q同为假

7、命题时为假,否则为真命题;“p且q”复合命题只有当p,q同时为真命题时为真,否则为假命题;p与“非p”即“p”恰好一真一假。定义2原命题:若p则q(p为条件,q为结论);逆命题:若q则p;否命题:若非p则q;逆否命题:若非q则非p。注2原命题与其逆否命题同真假。一个命题的逆命题和否命题同真假。注3反证法的理论依据是矛盾的排中律,而未必是证明原命题的逆否命题。定义3如果命题“若p则q”为真,则记为pq否则记作pq.在命题“若p则q”中,如果已知pq,则p是q的充分条件;如果qp,则称p是q的必要条件;如果pq但q不p,则称p是q的充分非必要条件;如果p不q但pq,则p称为q的

8、必要非充分条件;若pq且qp,则p是q的充要条件。二、方法与例题1.待定系数法。例1设方程x2-x+1=0的两根是α,β,求满足f(α)=β,f(β)=α,f(1)=1的二次函数f(x).【解】设f(x)=ax2+bx+c(a0),则由已知f(α)=β,f(β)=α相减并整理得(α-β)[(α+β)a+b+1]=0,因为方程x2-x+1=0中△0,所以αβ,所以(α+β)a+b+1=0.又α+β=1,所以a+b+1=0.又因为f(1)=a+b+c=1,所以c-1=1,所以c=2.又b=-(a+1),所以f(x)=ax2-(a+1)x+2.再由f(α)=β得aα2-(a+1)

9、α+2=β,所以aα2-aα+2=α+β=1,所以aα2-aα+1=0.即a(α2-α+1)+1-a=0,即1-a=0,所以a=1,所以f(x)=x2-2x+2.2.方程的思想。例2已知f(x)=ax2-c满足-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,求f(3)的取值范围。【解】因为-4≤f(1)=a-c≤-1,所以1≤-f(1)=c-a≤4.又-1≤f(2)=4a-c≤5,f(3)=f(2)-f(1),所以×(-1)+≤f(3)≤×5+×4,所以-1≤f(3)≤20.3.利用二次函数的性质。例3已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R,a0),若方程f(x)

10、=x无实根,求证:方程f(f(x))=x也无实根。【证明】若a>0,因为f(x)=x无实根,所以二次函数g(x)=f(x)-x图象与x轴无公共点且开口向上,所以对任意的x∈R,f(x)-x>0即f(x)>x,从而f(f(x))>f(x)。所以f(f(x))>x,所以方程f(f(x))=x无实根。注:请读者思考例3的逆命题是否正确。4.利用二次函数表达式解题。例4设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0),方程f(x)=x的两根x1,x2满足0

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