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《高中数学第3章直线与方程33直线的交点坐标与距离公式332两点间的距离教材梳》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、3.3.2两点间的距离疱丁巧解牛知识•巧学一、两点间距离1.已知平面上两点Pi(xi,yj、I)2(X2,y2),那么这两点间的距离为丨P1P2I=7(^2-^1)2+(>，2->1)2•从公式看出，这两点间的距离与这两点的先后顺序无关，即也可写成IP1P2I二J（X]—兀2）2+O1—九），•2.特别地，原点0(0,0)与任一点P(x,y)的距离I0PI二J"+b.当P1P2平行于x轴吋，IPiP2I=Ix2-X]I；当P1P2平行于y轴时，IP1P2I=Iyz-yiI•方法点拨(1)平面内两点间的距离公式是建立在数轴
2、上两点间的距离公式的基础上，将既不平行也不垂直于坐标轴的线段分解成垂直于坐标轴的线段，通过端点坐标利用直角三角形的勾股定理推出的.(2)推导过程中体现了“化斜为直”“化一•般为特殊”的数学思想.(3)两点间的距离公式是解析几何最重要最基本的公式，以后许多知识都是以它为基础，要熟练记忆.二、坐标法1.在坐标系的基础上，利用代数方法来解决平面儿何问题的方法称为坐标法，或叫解析法.直角坐标系是沟通“数”与“形”的桥梁，是建立解析几何理论的基础，坐标法解题则是直角坐标系这种巨大作用的初步体现.2.利用坐标法解决平面几何问题按以下
3、步骤进行：第一步：建立适当的直角坐标系，用坐标表示有关的量；第二步：根据题屮所给的条件，设出已知点的坐标，然后根据题设条件及儿何性质推出未知点的坐标，进行有关的代数运算；第三步：把代数运算结果“翻译”成几何关系.深化升华(1)不能把一般情况定为特殊情况.(2)选择坐标系要使得问题所涉及的坐标屮尽可能多地出现零.为此常有以下约定:①将图形一边所在直线或定直线作为x轴；②对称图形，取对称轴为x轴或y轴.若有直角，则取直角边所在的直线为坐标轴；③可将图形的一个定点或两定点连线的中点作为原点.问题・探究问题1两点间距离公式在数轴
4、上如何进行简化使用？探究：当两点在数轴上时，则点的坐标可表示为P^x.,0),I〉2(X2,0),由两点间距离公式丨P1P2I二J(X]—兀2)2+(》i一旳)2，代入化简可得IPRI=-X2)2+(0-0)2=IX-X2
5、.并且可进一步的推出，只要两点P】、P2连线平行于x轴，则两点间距离就可简化为丨PRI=
6、xi-x2
7、.问题2如果已知三点A(5,-2),B(l,5),c(-l,2)构成一个三角形，你能判断三角形ABC的形状吗？怎么判断？探究:三角形ABC是以C为顶点的直角三角形.判断方法有多种：方法一：由两点间距离
8、公式得
9、AB
10、=J(l—5尸+(5+2尸=a/65
11、AC
12、=J(—1—5尸+(2+2尸=辰,
13、BC
14、=J(亠1)2+(2_5尸=品，显然有
15、AB
16、2=
17、AC
18、2+
19、BC
20、2,所以三角形ABC是以C为顶点的直角三角形.2…方法二：可由斜率公式先求得kcA=——,kcB=3,AkcA•kcB=~L所以直线CA±CB.3而由两点I'可距离公式得
21、AC
22、=V52,
23、BC
24、=Vi3,所以三角形ABC是以C为顶点的直角三角形.典题・热题例1已知AABC中,A(4,5),B点在x轴上,C点在直线1：2x-y+2=0上,求ZXABC的周
25、长的最小值，并求B、C两点的坐标.思路解析：显然直接设点B、C的坐标用距离公式是很麻烦的，且不易找到求最小值的方法(三个根式相加)，可联想利用对称的知识解决•此处过A作关于x轴、直线1的对称点儿、*2,在x轴和直线1上分别取点B、C,则IABI+IBCI+ICAI=IAiB
26、+IBC
27、+IA2CI.显然当点A】、B、C、A2四点共线时，上式的值最小，故连结A*2交x轴于点B,交直线1于点C,这就是所求的点且周长的最小值为丨A.A2
28、.解：如图3-3-1,点、A关于x轴的对称点为A(4,-5).设点A关于直线1的对称点为A
29、2(m,n),n-5则加4c加+472+5rc2・+2=0.22n=7,即A2(0,7).・•・直线AA的方程为y二上空兀+7,即y二-3x+7.0-477令y二o得X二一，即直线AA交X轴于点B(-,0).33y二・3x+7,得[x=1,2x-y4-2=0,[y=4,即直线AH交直线1于点C(l,4),7即点吟0)、C(l,4)为符合条件的点.此时，IABI+IBCI+ICAI=IAiA2I二J(0・4)2+(7+5尸=4^,即AABC的周长的最小值为4価.深化升华对平面上两点间距离的直接运用，要注意公式的形式，由丨P
30、AI=IPBI列等式解关于x、y的方程.有些问题中，有关于两条线段的和最小或差的绝对值最大问题时，如果直接代入两点间距离公式，由于有两个根式，所以求解非常繁琐，故经常釆用对称问题转化后再由两点间距离求解.例2已知AABC是直角三角形，斜边BC的中点为M,建立适当的直角坐标系，证明AM=-BC.2思路解析：因为AABC
