北京市延庆县2013届高三一模统考理科数学试卷

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1、北京市延庆县2013届高三一模统考数学（理科）2013年3月本试卷共4页，满分120分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，，则A．0或B．0或3C．1或D．1或32.已知函数，则A.B.C.D.3.现有12件商品摆放在货架上，摆成上层4件下层8件，现要从下层8件中取2件调整到上层，若其他商品的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是A．420B．560C．840D．201604.在极坐标系下，圆的圆心坐标为A.B.C.D.5.已知双

2、曲线的离心率为，一个焦点与抛物线的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为A．B．C．D．6.已知直线，，则“”是“”（7题图）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.一四面体的三视图如图所示，则该四面体四个面中最大的面积是A.B.C.D.8.已知函数有且仅有两个不同的零点，，则A．当时，，B.当时，，C.当时，，D.当时，，第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.已知，，向量与的夹角为，则.10.若复数（为虚数单位）为纯虚数，其中，则.11.执行如图的程序框图，如果输入，则输出的

3、.12.在中，依次是角的对边，且.若，则角.（13题图）13.如图所示，以直角三角形的直角边为直径作⊙，交斜边于点，过点作⊙的切线，交边于点.则.24（14题图）14.以下是面点师一个工作环节的数学模型：如图，在数轴上截取与闭区间对应的线段，对折后（坐标4所对应的点与原点重合）再均匀地拉成4个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（例如在第一次操作完成后，原来的坐标1、3变成2，原来的坐标2变成4，等等）.那么原闭区间上（除两个端点外）的点，在第次操作完成后，恰好被拉到与4重合的点所对应的坐标为，则；.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应

4、写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知.（Ⅰ）求的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）若，求的最小值及取得最小值时对应的的取值．16.（本小题满分14分）如图，四棱锥的底面为菱形，，侧面是边长为2的正三角形，侧面底面.(Ⅰ)设的中点为，求证：平面；（Ⅱ）求斜线与平面所成角的正弦值；（Ⅲ）在侧棱上存在一点，使得二面角的大小为，求的值.17.（本小题满分13分）空气质量指数(单位:)表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量,这个值越高,就代表空气污染越严重:320455647697880791809乙城市3022448966151

5、78823098甲城市甲、乙两城市2013年2月份中的15天对空气质量指数进行监测,获得日均浓度指数数据如茎叶图所示:（Ⅰ）根据你所学的统计知识估计甲、乙两城市15天内哪个城市空气质量总体较好?（注：不需说明理由)（Ⅱ）在15天内任取1天，估计甲、乙两城市空气质量类别均为优或良的概率；(Ⅲ)在乙城市15个监测数据中任取个,设为空气质量类别为优或良的天数,求的分布列及数学期望.18.（本小题满分13分）已知函数.(Ⅰ)讨论函数的单调性；（Ⅱ）当时，求函数在区间的最小值.19.（本小题满分14分）已知动点与一定点的距离和它到一定直线的距离之比为.(

6、Ⅰ)求动点的轨迹的方程；（Ⅱ）已知直线交轨迹于、两点，过点、分别作直线的垂线，垂足依次为点、.连接、，试探索当变化时，直线、是否相交于一定点？若交于定点，请求出点的坐标，并给予证明；否则说明理由.20.（本小题满分13分）是由定义在上且满足如下条件的函数组成的集合：(1)对任意，都有；(2)存在常数，使得对任意的，都有.(Ⅰ)设，证明：；(Ⅱ)设，如果存在，使得，那么这样的是唯一的；(Ⅲ)设，任取，令证明:给定正整数,对任意的正整数,不等式成立.高三数学（理科答案）2013年3月一、选择题：BBCDDADB二、填空题：本大题共6小题，每小题5分

7、，共30分.9.10.11.12.13.14.；（这里为中的所有奇数）三、解答题：15.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）…………4分，最小正周期为.…………5分由，得…………6分…………7分…………8分单调递增区间为.…………9分（Ⅱ）当时，，…………10分在区间单调递增，…………11分，对应的的取值为.…………13分16.（本小题满分14分）(Ⅰ)证明：因为侧面是正三角形，的中点为，所以，因为侧面底面，侧面底面，侧面，所以平面.………3分（Ⅱ）连结，设，建立空间直角坐标系，则，，，，，………5分,平面的法向量，设斜线与平面所成角的为，则.………

8、8分（Ⅲ）设，则，，，………10分设平面的法向量为，则，，取，得，又平面的法向量………12分所以，所以，解得（舍去）或.所以，此时.………14分17.