知识讲解指数函数与性质基础

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1、指数函数及其性质要点一、指数函数的概念：函数y=ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，a为常数，函数定义域为R.要点诠释：（1）形式上的严格性：只有形如y=ax(a>0且a≠1)的函数才是指数函数．像，，等函数都不是指数函数．（2）为什么规定底数a大于零且不等于1：①如果，则②如果，则对于一些函数，比如，当时，在实数范围内函数值不存在．③如果，则是个常量，就没研究的必要了．要点二、指数函数的图象及性质：y=ax01时图象图象性质①定义域R，值域（0，+∞）②a0=1,即x=0时，y=1，图象都经过(0，1)点③ax

2、=a，即x=1时，y等于底数a④在定义域上是单调减函数④在定义域上是单调增函数⑤x<0时，ax>1x>0时，00时，ax>1⑥既不是奇函数，也不是偶函数要点诠释：（1）当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论。（2）当时，；当时。当时，的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快。当时，的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快。（3）指数函数与的图象关于轴对称。要点三、指数函数底数变化与图像分布规律（1）①②③④则：0＜b＜a＜1＜d＜c又即：x∈(0,+∞)时，（底大幂大）x∈(－∞,0)时，（2）特殊函数的图

3、像：要点四、指数式大小比较方法(1)单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较.(2)中间量法(3)分类讨论法(4)比较法比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为：①若；；；②当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断，或即可．【典型例题】类型一、指数函数的概念例1．函数是指数函数，求的值．【答案】2【解析】由是指数函数，可得解得，所以．【总结升华】判断一个函数是否为指数函数：（1）切入点：利用指数函数的定义来判断；（2）关键点：一个函数是指数函数要求系数为1，底数是大于0且不等于1的常数，指数必须是自变量．举一反三：【变式1

4、】指出下列函数哪些是指数函数？（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．【答案】（1）（5）（6）【解析】（1）（5）（6）为指数函数．其中（6）=，符合指数函数的定义，而（2）中底数不是常数，而4不是变数；（3）是-1与指数函数的乘积；（4）中底数，所以不是指数函数．类型二、函数的定义域、值域例2．求下列函数的定义域、值域.(1)；(2)y=4x-2x+1；(3)；(4)(a为大于1的常数)【答案】（1）R，(0，1)；（2）R[)；（3）；（4）(-∞，-1)∪[1，+∞)[1，a)∪(a，+∞)【解析】(1)函数的定义域为R(∵对一切

5、xR，3x≠-1).∵，又∵3x>0，1+3x>1，∴，∴，∴，∴值域为(0，1).(2)定义域为R，，∵2x>0，∴即x=-1时，y取最小值，同时y可以取一切大于的实数，∴值域为[).(3)要使函数有意义可得到不等式，即，又函数是增函数，所以，即，即，值域是.(4)∵∴定义域为(-∞，-1)∪[1，+∞)，又∵，∴，∴值域为[1，a)∪(a，+∞).【总结升华】求值域时有时要用到函数单调性；第(3)小题中值域切记不要漏掉y>0的条件，第(4)小题中不能遗漏.举一反三：【变式1】求下列函数的定义域：(1)(2)(3)(4)【答案】（1）R；（2）

6、；（3）；（4）a>1时，；01时，；0

7、以逐层讨论它的单调性，综合得到结果．【答案】函数在区间（－∞，1）上是增函数，在区间[1，+∞）上是减函数（0，3]【解析】解法一：∵函数的定义域为（－∞，+∞），设x1、x2∈（－∞，+∞）且有x1＜x2，∴，，．（1）当x1＜x2＜1时，x1+x2＜2，即有x1+x2－2＜0．又∵x2－x1＞0，∴(x2―x1)(x2+x1―2)＜0，则知．又对于x∈R，恒成立，∴．∴函数在（－∞，1）上单调递增．（2）当1≤x1＜x2时，x1+x2＞2，即有x1+x2－2＞0．又∵x2－x1＞0，∴(x2―x1)(x2+x1―2)＞0，则知．∴．∴函数在[

8、1，+∞）上单调递减．综上，函数在区间（－∞，1）上是增函数，在区间[1，+∞）上是减函数．∵x2―2x=(x―1)2―1≥－1，，．∴