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1、足球队排名摘要本论文针对足球的排名问题设计一个依据各队的成绩排出各队的名次的模型。对于这个足球队排名问题，我们采用竞赛图法和层次分析法这两种方法给出足球队的排名顺序。用竞赛图法我们应该先建立竞赛图，以n个队，Tl,T2,T3・・・.Tn为竞赛图的G的顶点集建立竞赛图G的边集就可以算出各队的排名顺序。这个名次正是比赛成绩所体现的各队实力的顺序，所建立的模型充分考虑了排名结杲对各场比赛成绩的重要性的反馈影响基木上消除了由于比赛对手的强弱不同造成的不公平现彖，本模型比较完满的解决了足球队排名出问题，而且经过简单的修改，他可适
2、用于任何一种对抗赛的排名。关键词：竞赛图、邻接矩阵、最大特征值、特征向量足球队排名模型一、提出问题附表给出的是我国12支球队字198旷1989年全国甲级联赛中的成绩，要求建立数学模型，对各队进行排名次。排名的口的是根据比赛成绩排出反映各队正是实力状况的一个顺序，所以说一个好的排名算法应满足下面的一些基本要求：（1）保序性：我们认为各队的真实实力水平在成绩表屮反映出来，所以根据排名的目的，我们要求排名顺序与成绩表所反映的各队的真实水平是一致的。（2）稳定性:成绩表中校的变动不会对排名造成巨大的影响。（3）能够处理不同场次
3、的权重:应为不同比赛在排名中的地位不同，往往会岀现有的对不信遇到较强的对而输掉，避免由于对手的强弱不同造成的不公平（4）能够准确的进行补残：两个队之间没有打比赛，我们只为成绩表残缺，对于两队成绩的残缺，只能通过他们同其他队的比赛成绩判断他们实力的大小。（5）能够判断成绩表的可约性。（6）容忍不一致现象（7）对数据可依赖程度给出较为精确的描述。问题的重述下表给出了我国12只足球队在1988-1989年全国足球甲级联赛中的成绩要求（见附表一）1）设计一个依据这些成绩排出诸队名次的算法并给出用该算法排名次的结果2）把算法推广
4、到任意N个队的情况3）讨论数据应具备什么样的条件用你的方法才能够排出诸队的名次对下表的说明1）12支球队依次记作T1,T2,•••T122）符号X表示两队未曾比赛3）数字表示两队比赛结果如h行与T*列交叉处的数字表示G与T*比赛了2场T1与T2的进球数Z比为0：1和3:1三、模型的假设（1）一对排在另一对Z而，不能只考虑这两队的成绩，而应充分考虑这两对所冇比赛场次的战绩。（2）要充分考虑对手的强弱因素，减少球队发挥水平不正常而带来的影响，避免强队偶然输给弱队带来名次的大落，又应考虑弱队超水平发挥后名次的上升。（3）如果
5、两队Z间由于种种原因，没有比赛或者双方打成平局，就冇其他队的战绩确定这两队的强弱。（4）参赛各队存在客观的真实实力，这是任何一种排名算法的基础。（5）在每场比赛中体现出来的强队对弱队的表面真实实力对比是以他们真实实力对比为中心的互相独立的真态分彳IJ。四、符号说明符号其定义和说明(Ti,Tj)第i队和第j队的比赛，i二1,2,3,•••,12；j二1,2,3,…，12；弧、aji地i队对第j队的表现实力Hi⑵第i队打败的对的二重积分和w排名向量B判断矩阵的辅助矩阵A判断矩阵§max最大特征值muA胜Tj平均每场净胜球数
6、五、模型的建立和求解方法一、竞赛图法（问题一）、设计一个依据这些成绩排出诸队名次的算法并给出用该算法排名次的结果根据问题的假设和比赛成绩表，我们构造竞赛图如下：以n个参赛队L,T2,L,-,Tn为竞赛图G的顶点，G的边集按如下算法求得：i从1到n循环，j从1到n循环。若Ti胜Tj的场次多，则以Ti为尾Tj为头，作边（Ti,Tj）；若Tj胜Ti的场次多，则建边（Tj,Ti）,若两队之间胜的场次相同，则以两队比赛进球多的一队为尾，另一头为头建边，否则不建边。若两队Z间没冇比赛则不建边。根据建边情况，可建立矩阵A二Hij如下
7、：1）aii=O；2)当iHj时,若Ti,Tj建边,则取au=l,3.1=0；若Ti.TjZ间未建边，则弧、丑订不计数则建立A的矩阵如下表所示：T,T】0T2T31T400011001001t511001t6111000t7000T12000000010100t9110T1211100(2)、对i从1到n计分，其计算得分量为a,然后再计算其二级的分量a;⑵其计算结果如下：•级得分向量:=(4,3,7,0,1,2,8,3,4,4,0,2)二级得分向量：/_(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)I81，82
8、,a3>84,85,&6,87,38,39,a⑵g,a⑵a(2>12)二(7,6,17,0,0,1,24,4,6,5,0,1)三级得分向量：(a⑶g⑶2.a⑶3,a⑶“a(3)5,a<3)6,a⑶7,a<3)8,a⑶9,a<3>10,a<3>n,a⑶12)=(7,7,23,0,0,0,40,7,12,7,0,1)⑶、i从1到n循环
