高等数学应用题(上)

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1、高等数学应用题（上）1、一个星级旅馆有150个客房，经过一段时间的经营实践，旅馆经理得到一些数据：若每间客房定价为160元，住房率为55%；每间客房定价为140元，住房率为65%；每间客房定价为120元，住房率为75%；每间客房定价为100元，住房率为85%.欲使每天收入最高，每间客房定价应为多少？问题分析易于看出，定价每降低20元，住房率便增加10%，呈线性增长趋势；1.160元的定价是否为最高价应给予确定；2.是否所有客房定价相同需要确定.模型假设3.在无其他信息时，每间客房的最高定价均为160元；4.所有客房定价相同.模型建立根据假设1.，如果设代表旅

2、馆一天的总收入，而表示与160元相比降低的房价，则可得每降低1钱元的房价，住房率增加为10%/20=0.005.由此便可以得到（1）注意到又得到于是得到所求的数学模型为：，模型求解这是一个二次函数的极值问题，利用导数方法易于得到为唯一驻点，问题又确实存在最大值，故（元）即为价格降低幅度，也即160-25=135（元）应为最大收入所对应的房价.模型分析1.将房价定在135元时，相应的住房率为最大收入为（元）.表面上住房率没有达到最高，但是总收入达到最大，这自然是住房率与价格相互制约造成.2.可以将五种定价的总收入求出以做比较（从略）和检验知我们的结果是正确的.

3、3.为了便于管理，将价格定在140元/（天.间）也无妨，因为此时的总收入与最高收入仅差18.75元.4.假如定价是180元，住房率应为45%，其相应的收入只有12150元，由此可知，我们的假设1.是正确的.2、试作一些合理的假设，证明在起伏不平的地面上可以将一张正方形椅子放稳。答：(一)假设：地面是一光滑曲面，方凳的四脚连线构成一正方形。如图建立坐标系：其中A,B,C,D代表方凳的四个脚,以正方形ABCD的中心为坐标系原点。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　记H为脚A,C与地面距离之和，G为脚B,D与地面距离之和，　　θ为AC连线与X轴的夹角，不妨设H(

4、0)>0,G(0)=0,(为什么?)　令　　f(θ)=H(θ)-G(θ)　　则f是θ的连续函数,且f(0)=H(0)>0将方凳旋转90°,则由对称性知H(π/2)=0,G(π/2)=H(0)从而f(π/2)=-H(0)<0由连续函数的介值定理知，存在θ∈(0,π/2)，使f(θ)=01、某种疾病每年新发生1000例，患者中有一半当年可治愈.若2000年底时有1200个病人，到2005年将会出现甚麽结果？有人说，无论多少年过去，患者人数只是趋向2000人，但不会达到2000人，试判断这个说法的正确性。根据题意可知：下一年病人数==当年患者数的一半+新患者.于是

5、令为从2000年起计算的年后患者的人数，可得到递推关系模型：由可以算出2005年时的患者数人.递推计算的结果有，容易看出，故结论正确.2、某人身高2米，以5/3米/秒的速度向一高7米之街灯走去，请问：（1）此人身影的头顶以多少速度在移动？（2）此人身影长度的变化率为多少？解：在时间秒时，设此人离街灯底部为米，此人身影头顶离街灯底部为米，由相似三7m2mymxm角形定理，，或，将上式左右两边分别对求导：，但，故，此人身影的头顶移动速率为米/秒。设为身影的长，则，此人身影长度的变化率为米/秒。1、一个半球面形的碗，半径为厘米，正以每分钟立方厘米的稳定流量注入水。

6、当水的深度已达厘米时，试求水面上升的速率为多少？解：设水深达厘米时其体积为立方厘米，则，故，但，所以，当时，，即水面高度以每分钟厘米的速率上升2、早晨开始下雪整天稳降不停。正午12点一扫雪车开始扫雪，每小时扫雪量按体积是常数。到下午2点的时候扫清了两英里路，到下午4点又扫清了1英里路，问降雪是什么时候开始的？解：设雪从时刻开始下，正午记为。雪量为S（m/h），铲雪速度为R（m3/h），街区长为定值L（m），宽为W（m）。则时刻t地面上雪的厚度为，清扫雪时的速度为。在t时刻清扫的路长为。由题可知，与，比较得3、若要火箭飞离地球引力范围，火箭的初速度应为多少？解

7、：地球对火箭的引力为，其中为地球中心到火箭的距离，为地球的质量，为火箭的质量，为引力常数。假设火箭在地面上，即，地球对火箭的引力为，其中为重力加速度，由此得，故。火箭从到，地球引力所作功为。取，，得。因此要使火箭脱离地球引力范围，必须克服地球引力对火箭作功，即发射火箭的时，火箭的动能至少等于地球引力对火箭作功，，用，代入得1、某建筑工程打地基时需用汽锤将桩打进土层，汽锤每次击打都将克服土层对桩的阻力而做功。设土层对桩的阻力大小与桩被打进地下的深度成正比，其比例系数为k（k>0），已知汽锤击打桩三次后，可将桩打进地下a米。根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作

8、的功与前一次击打时所作的功之比为常数r(0