《1.1.2 瞬时变化率——导数（2）》同步练习

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1、《1.1.2瞬时变化率——导数》第2课时　导数的应用1．下面说法正确的是________(写出正确的所有序号)．①若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线；②若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在；③若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在；④若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f′(x0)有可能存在．解析　根据导数的几何意义：函数在某一点的导数等于曲线在该点的切线的斜率判断．答案　③2

2、.已知函数y＝f(x)的图象如图，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是________．①f′(xA)＞f′(xB)；②f′(xA)＜f′(xB)；③f′(xA)＝f′(xB)；④不能确定．解析　分别作出A、B两点的切线，由图可知kB＜kA，即f′(xB)＜f′(xA)．答案　①3．曲线y＝2x－x3在点(1，1)处的切线方程为________．解析　由导数定义可得y′＝2－3x2，∴k＝2－3＝－1∴切线方程为：y－1＝－1(x－1)，即x＋y－2＝0.答案　x＋y－2＝04．设函数f(x)＝ax3＋2，若f

3、′(－1)＝3，则a＝________.解析　∵＝＝[a(Δx)2－3aΔx＋3a]．∴当Δx无限趋近于0时，无限趋近于3a，即3a＝3，∴a＝1.答案　15．曲线f(x)＝x3在(2，8)处的瞬时变化率是________．解析　＝＝＝＝12＋6Δx＋(Δx)2，∴当Δx→0时，12＋6Δx＋(Δx)2→12，故曲线在(2，8)处的瞬时变化率为12.答案　126．曲线f(x)＝x3＋x－2在P0点处的切线平行于直线y＝4x－1，求P0点的坐标．解　设P(x0，y0)由f(x)＝x3＋x－2，由导数定义可得f′(x)

4、＝3x2＋1令f′(x0)＝4，即3x＋1＝4，得x0＝1或x0＝－1∴P(1，0)或(－1，－4)．7．曲线f(x)＝x2－2上一点P，则过点P的切线的倾斜角是________．解析　切线斜率k＝f′(1)＝1，而k＝tanα，则所求倾斜角为.答案　8．设函数y＝f(x)在点x0处可导，且f′(x0)>0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的倾斜角的范围是________．解析　k＝f′(x0)＞0，∴tanθ＞0，∴θ∈.答案　9．曲线y＝在点(1，1)处的切线方程是_______________

5、_________________________________________________________．解析　k＝f′(x)＝，切线方程为y＝x＋.答案　y＝x＋10.如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝________.解析　易得切点P(5，3)，∴f(5)＝3，k＝－1，即f′(5)＝－1.∴f(5)＋f′(5)＝3－1＝2.答案　211．求曲线y＝x3在点(3，27)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积．解　＝＝27＋9Δx，即f′(3)＝27，

6、∴曲线在点(3，27)处的切线方程为：y－27＝27(x－3)，即y＝27x－54.此切线与x轴、y轴的交点分别为(2，0)，(0，－54)．∴切线与两坐标轴围成的三角形的面积为[来源:Z。xx。k.Com]S＝×2×54＝54.12．火箭升空后一段时间内，第ts时的高度h(t)＝5t3＋30t2＋45t＋4，其中h的单位为m，t的单位为s.(1)h(0)，h(1)，h(2)分别表示什么？(2)求第2s内的平均速度；(3)求第2s末的瞬时速度；(4)经过多长时间，飞机的速度达到75m/s？解　(1)h(0)表示航天

7、飞机发射前的高度；h(1)表示航天飞机发射后1s的高度；h(2)表示航天飞机发射后2s的高度；(2)第2s内的平均速度＝＝170(m/s)；(3)＝＝5Δt2＋60Δt＋225，当Δt趋向于0时，趋向于225，因此，第2s末的瞬时速度为225m/s；(4)设经过时间t，飞机的速度达到75m/s.＝＝15t2＋60t＋45＋(15t＋30)Δt＋5(Δt)2，∴当Δt→0时，→15t2＋60t＋45，故经过时间t，飞机的瞬时速度为15t2＋60t＋45.令15t2＋60t＋45＝75，∴t≈0.449s.13．(创新

8、拓展)求曲线y＝x2过点P的切线方程．解　由已知得＝2x＋Δx，∴当Δx无限趋近于0时，2x＋Δx无限趋近于2x，即y′＝2x.易判断P点不在曲线y＝x2上，设所求切线与抛物线的切点A(x0，x)．又因为此切线过点和点(x0，x)，其斜率应满足＝2x0，由此x0应满足x－5x0＋6＝0.解得x0＝2或3.即切线过抛物线y＝x2上的点(2，4)，(3，9)．所