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《关于极限运算的探索【文献综述】》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、毕业论文文献综述数学与应用数学关于极限运算的探索一、国内外古代极限思想在中国古代数学史上,无限思想(极限的最初雏形)占有非常重要的地位。很多哲学思想无不渗透着极限的光辉思想。著名的庄子一书中有言:一尺之棰,日取其半,而万世不竭。从中就可体现出我国早期对数学中无穷的认识水平。而我国第一个创造性地将无穷思想运用到数学中,且运用相当自如的是魏晋时期著名数学家刘徽。他提出用增加圆内接正多边形的边数来逼近圆的割圆术。公元前三世纪,数学之神希腊数学家阿基米德所运用的穷竭法已备近代极限理论的雏形。毕达哥拉斯学派关于不可公度量的发现,以及在关于数与无限这两个概念
2、的定义中就已经孕育了微积分学的关于无穷的思想方法。柏拉图和德谟克利特学派探索过无穷小量观念等等.第二次数学危机有力地推动了极限理论的发展,其源于微增量相关的一类计算。经过一个多世纪的漫漫征程,几代数学家,包括达朗贝尔、拉格朗日、贝努力家族、拉普拉斯以及集众家之大成的欧拉等人的努力,数量惊人前所未有的处女地被开垦出来,微积分理论获得了空前丰富。法国著名数学家柯西的研究使分析基础严密化的工作向前迈出了第一大步,在柯西的努力下,连续、导数、微分、积分、无穷级数的和等概念建立在了较坚实的基础上。不过,在当时情况下,由于实数的严格理论未建立起来,所以柯西的
3、极限理论还不可能完善。柯西之后,魏尔斯特拉斯、戴德金、康托尔各自经过自己独立深入的研究,都将分析基础归结为实数理论,并于七十年代各自建立了自己完整的实数体系。由此,沿柯西开辟的道路,建立起来的严谨的极限理论与实数理论,完成了分析学的逻辑奠基工作。数学分析的无矛盾性问题归纳为实数论的无矛盾性,从而使微积分学建在了牢固可靠的基础之上。极限的思想方法贯穿于数学分析课程的始终。可以说数学分析中的几乎所有的概念都离不开极限。在几乎所有的数学分析著作中,都是先介绍函数理论和极限的思想方法,然后利用极限的思想方法给出连续函数、导数、定积分、级数的敛散性、多元函
4、数的偏导数,广义积分的敛散性、重积分和曲线积分与曲面积分的概念。极限思想方法是数学分析乃至全部高等数学必不可少的一种重要方法,也是数学分析与初等数学的本质区别之处。数学分析之所以能解决许多初等数学无法解决的问题(例如求瞬时速度、曲线弧长、曲边形面积、曲面体体积等问题),正是由于它采用了极限的思想方法。极限法揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系,是唯物辩证法的对立统一规律在数学领域中的应用。极限理论在现代数学乃至物理等学科中有广泛的应用,这是由它本身固有的思维功能所决定的。借助极限法,人们可以从有限认识无限,从不变认识变,从直线形认识曲线形,
5、3从量变认识质变,从近似认识准确。无限与有限有本质的不同,但二者又有联系,无限是有限的发展。无限个数目的和不是一般的代数和,把它定义为部分和的极限,就是借助极限法,从有限认识无限。变与不变反映了事物运动变化与相对静止两种不同状态,但它们在一定条件下又可相互转化,这种转化是数学科学的有力杠杆之一。例如,求变速直线运动的瞬时速度,这时速度是变量,为此人们先在小范围内用匀速代替变速,并求其平均速度,把瞬时速度定义为平均速度的极限,就是借助极限法,从不变认识变。曲线形与直线形有本质的差异,但在一定条件下也可相互转化,善于利用这种对立统一关系是处理数学问题
6、的重要手段之一.直线形的面积容易求得,要求曲线形的面积,只用初等的方法就不行了。刘徽用圆内接多边形逼近圆,一般地,人们用小矩形的面积和逼近曲边梯形的面积,都是借助极限法,从直线形认识曲线形。质和量的互变规律是辩证法的基本规律之一,在数学研究工作中起重要作用。无穷级数求和、瞬时速度等都是借助极限法,从近似认识准确。二、进展情况随着数学科学的研究，我们的知识体系也趋于完善。极限理论是数学分析的基础,数学分析主要研究微分和积分,而极限又是微积分学大厦的基石,可以说没有充分的极限理论,就不可能有今天数学蓬勃发展的局面。如今数学分析已经成为一门重要的数学分
7、支,对整个数学的面貌的改变起到了不可磨灭的贡献。微积分作为一种重要的数学工具,已经渗透到科学的各个领域。作为微积分基石的极限理论也在随着科学技术的发展而发展,极限理论为整个科学提供了一个强大工具。三、研究方向求函数极限，我们可以从很多方面入手。利用定理和准则、两个重要极限、极限的运算法则、初等函数的连续性、洛必达法则、泰勒公式、定积分求和式极限、极限存在的必要条件、等价无穷小代换……对与一些特殊极限，也可以探讨一下它的解题思路（例如两个重要极限）。另外还可以结合近期的报刊和一些现金的思想更深一步的研究函数极限。四、存在的问题极限运算是高等数学的重
8、要内容.但学生在运算过程中经常会出现一些认识上的偏差,致使解题失误.下面就是教学中遇到的学生所出现的一些问题。1忽视等价无穷小替换的条件
