造桥选址

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1、图1图2图3问题：如图1，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路线AMNB最短？（假设河两岸平行,桥MN与河岸垂直,A到河岸m的距离大于河宽.）方法探究：读懂题意后发现，这个问题要求的“路径AMNB最短”实际是就是“AM+BN”最短，因为本题中附加条件是“桥要与河垂直”，也就是说桥的长度就是河两岸的距离了（题中假定了河的两岸是平行的直线）．怎样保证“AM+BN”最短呢？如果不是中间有条河隔着，直接连接AB就可以了！由于河两岸平行,故桥长MN是一个定值,无论桥架在何处，MN是必经路线,要使从A到B的折线最短,只需AM+BN最短即可。为此

2、我们不妨将河岸平移到与河岸重合，由平移性质知MB1=NB。由“两点之间，线段最短”的性质知，要使AM+BN最短,只要点B1与A、M共线即可。为了更为清楚的表达这种方法，我们构造出如图3的作图后，再加以说明。图2的操作步骤是，过点A作AC⊥于点C，在线段AC上截取AC=桥长，然后连接C、B交河岸n于点N，最后过点N作MN⊥河岸m于点M。则MN即为所求的架设桥的地点.很显然，从上面的分析与作图来看，通过平移把桥的固定长度巧妙的化解开去，分析出“AM+BN”最短距离为A`N+BN（也就是点A`到点B之间的线段最短），从而实现了问题的求解．3建校选址问题：如图6，要在公路m旁建一所

3、小学，使A村、B村到小学的距离之和最小，请作出小学的位置。分析讨论：如图5，若A、B两村分布在公路m两侧，则只需连结A、B，AB与公路m的交点C即为所求.这时，AC+BC=AB.依据连结A、B两点的连线中，线段AB最短.但是此问题中A、B两村分布在公路m的同侧.因而利用对称变换作出A点关于公路m的对称点A1，就可转化为前面的情形来解决了.作法：如图6，①作A点关于公路m的对称点A1.②连结A1B与公路m交于C.③连结AC、BC，则C就为学校的位置.造桥选址问题（选自人教版七年级下册）A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短

4、？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直.）分析讨论：如图10，因为两平行线间的距离处处相等，所以桥长MN是不变的（与河同宽）.只须AM+BN最短.把河岸m1连同A向下平移使两岸重合，这时A1B就是除去河宽的A到B的最短路径,问题转化为B1题的第一种讨论。作法：如图10，①过A作AP⊥m2，在AP上截取AA1=MN.②连结A1B与m2交于N点.③过N点作MN⊥m2与m1交于M点.④连结AM.则路径AMNB最短.其实，此题将B点向上平移河宽也可以；将点A、点B同时向下、向上平移，使它们移动的距离之和为河宽也可以。同学们可以在此充分讨论。3造桥选址问题造桥选址问题（选自人教版

5、七年级下册）：如图1，和两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥，桥造在何处才能使从到的路径最短？（假设河两岸、平行,桥与河岸垂直）ABCMN图1图2方法探究：读懂题意后发现，这个问题要求的“路径最短”实际是就是“”最短，因为本题中附加条件是“桥要与河垂直”，也就是说桥的长度就是河两岸的距离了（题中假定了河的两岸是平行的直线）．怎样保证“”最短呢？如果不是中间有条河隔着，直接连接就可以了！由于河两岸平行,故桥长是一个定值,无论桥架在何处,是必经路线,要使从到的折线最短,只需最短即可.为此我们不妨将桥平移到处,且与重合,则与重合,由平移性质知=.由“两点之间,线段最短”的性质知

6、,要使最短(即最短),只要点在线段上即可．为了更为清楚的表达这种方法，我们构造出如图2的作图后，再加以说明．图2的操作步骤是，过点作于点，在线段上截取=桥长，然后连接交于点，最后过点作于点.则即为所求的架设桥的地点.很显然，从上面的分析与作图来看，通过平移把桥的固定长度巧妙的化解开去，分析出“”最短距离为（也就是点到点之间的线段最短），从而实现了问题的求解．解后反思：这个问题有着非好的实际背景，情境贴近生活实际．从上面的求解方法来看，平移只是问题实现转化中的一个重要策略，怎么联想到平移的？其本质还是对“两点之间，线段最短”公理的深刻理解．从这点上说，同学们是值得认真体会和积

7、累的．造桥选址问题，充分体现了利用平移变换实现问题转化，从而有效求解．3