正定矩阵的判定方法及正定矩阵在三个不等式证明中的应用

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1、正定矩阵的判定方法及正定矩阵在三个不等式证明中的应用作者：袁亮（西安财经大学）摘要:本文从正定矩阵的的定义出发，给出了正定矩阵的若干判定定理及推论，并给出了正定矩阵在柯西、Holder、Minkowski三个不等式证明中的应用.关键词:正定矩阵，判定，不等式，应用Abstract:Inthispaper,wemainlyintroducesomedecisiontheoremandinferencebasedonthedefinitionofpositivedefinitematricesandgiv

2、etheapplicationofpositivedefinitematricesintheprovingonCauchy、Holder、andMinkowskiinequality.Keywords:positivedefinitematrix,determine,inequality,application目录1引言…………………………………………………………………42正定矩阵的判定方法………………………………………………42.1定义判定…………………………………………………………52.2定理判定

3、…………………………………………………………62.3正定矩阵的一些重要推论………………………………………113正定矩阵在三个不等式证明中的应用…………………………153.1证明柯西不等式………………………………………………153.2证明Holder不等式……………………………………………163.3证明Minkowski不等式…………………………………………18结束语…………………………………………………………………21参考文献………………………………………………………………221引言代数学是数学中的一

4、个重要的分支，而正定矩阵又是高等代数中的重要部分．特别是正定矩阵部分的应用很广泛，n阶实对称正定矩阵在矩阵理论中，占有十分重要的地位．它在物理学、概率论以及优化控制理论中都得到了重要的应用，而本文只提供解决正定矩阵判定问题的方法，并阐明它在数学分析中三个重要不等式证明中的应用.正定矩阵的一般形式是,设A是n阶实对称矩阵，若对任意，且，都有成立.本文从正定矩阵的定义，给出正定矩阵的判定定理，并给出正定矩阵的重要推论，这些重要推论对计算数学中的优化问题有着重要的作用，并在矩阵对策，经济均衡，障碍问题的研究

5、中具有很实用的价值.同时还介绍正定矩阵在三个不等式证明中的应用，其一是用正定矩阵证明著名的柯西不等式，其二是用正定矩阵的性质给出Holder不等式的一个新的证明，其三是运用正定矩阵的两个引理证明Minkowski不等式，这三个应用说明正定矩阵运用的广泛性和有效性.以上这些正定矩阵的研究只局限在正定矩阵的理论分析方面，它的一些实际方面的应用还有待笔者和一些学者去探索挖掘.2正定矩阵的判定方法2.1定义判定设=,(其中C,i,j=1,2,…，n),的共轭转置记为=定义1对于实对称矩阵=,（其中R,i,j=

6、1,2,…，n）若对于任意非零列向量，都有>0,则称是正定矩阵.定义2对于复对称矩阵=,（其中C,i,j=1,2,…，n）若对于任意非零列向量，都有>0,则称是正定矩阵．例1设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，为B的转置矩阵，试证为正定矩阵的充要条件是B的秩r（B）=n.证[必要性]设为正定矩阵，则对任意的实n维列向量，有，即.于是，因此，只有零解，从而.[充分性]因,即为实对称矩阵.若秩，则线性方程组只有零解，从而对任意实n维向量有.又A为正定矩阵，所以对于，有,于是当时，.故为正定矩阵.

7、例2设A是n阶正定矩阵，B是n×m实矩阵，B的秩为m，证明：BAB是正定矩阵.证因为（BAB）=BAB=BAB,故BAB是实对称矩阵，其次，由于秩B=m，m≤n.故BX=0只有零解，因此，若任取非零实列向量X必有BX≠0，因A是正定矩阵，故对任取的非零实列向量X，必有X（BAB）X=(BX)A(BX)>0.因此BAB是正定矩阵.注意以上两个例子，是运用正定矩阵的定义来证明的.还提供了利用实矩阵来构造正定矩阵的方法.具体是，若A不是方阵，也不对称时，AA，AA是正定矩阵，若A是方阵，但不对称，则A+A是

8、正定矩阵，同时，在证明的过程中，我们也看到了齐次线性方程组解的理论在正定二次型的理论中的应用.2.2定理判定定理1n阶实对称矩阵A正定，当且仅当实二次f(,,…,)=的正惯性指数为n．证设实二次型f(,,…,)经过非退化线性变换得++…+.（2.1）由于非退化实线性变换保持正定性不变，那么正定当且仅当（2.1）是正定的，由定义3知（3.1）正定当且仅当>0()，因此，正惯性指数为n..定理2实对角矩阵正定的充分必要条件是>0，().证由定理3.1得，实对