浙江师范大学《微分几何》考试卷05

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1、浙江师范大学《　　微分几何　　　》考试卷（2005　----2006学年第一学期）考试形式　闭卷　　　　　　　　　　　　　使用学生　数学031-034　　　　　考试时间　　150　　　分钟　　　　　　　　出卷时间　2005　　年　12　　月　20日　　说明：考生应将全部答案都写在答题纸上，否则作无效处理。　一、填空题（每空2分，共16分）1、向量函数是定长的充要条件是.2、柱面的第一基本形式为。3、若曲面和曲面等距，则的高斯曲率K=。4、坐标网是渐近线网的充要条件是。5、若曲面上的曲线既是渐近线又是曲率

2、线，则是。6、曲面的切平面方程为曲线；法线方程为。7、曲面上沿着一条非直线的曲线，它的从切面与曲面的切平面重合，则曲线是曲面上曲线。二、是非题（每小题2分共10分）1、存在第一类基本量E=1，F=3，G=3的曲面。（）2、球面上每一条曲线都是曲率线。（）3、曲面上一定存在着曲率线网和渐近线网。（）4、高斯曲率不是内蕴量。（）5、曲率和挠率分别等于不为零常数的曲线是圆柱螺线。（）三、综合题（1-8每小题8分，第9小题10分，共74分）1、问是否存在曲面使得。为什么？2、求曲线的曲率k和挠率。3、求曲线的切

3、线曲面的主曲率，平均曲率，曲率线方程。4、求曲面的高斯曲率K。5、求正螺面上测地线的方程。6、证明：若曲面是（非平面）极小曲面，则该曲面有二族互相正交的渐近曲线。7、设非直线曲线和另一条曲线之间建立的一一对应，使得在对应点，曲线的切线是的主法线，证明是平面曲线。8、若两曲面，相交于定角，且交线是的曲率线，则也是的曲率线。9、证明：对曲面上的曲线有（1）若渐近曲线同时为测地曲线，则它必是直线；（2）若曲率线同时为测地线，则它必是平面曲线。浙江师范大学《微分几何》考试卷参考答案（2005　----2006学

4、年第一学期）考试形式　闭卷　　　　　　　　　　使用学生　数学031-034　　　　　考试时间　　150　　　分钟　　　　　　出卷时间　2005　　年　12　　月　20日　　说明：考生应将全部答案都写在答题纸上，否则作无效处理。　一、填空题（每格2分共16分）1、2、3、K=04、L=N=05、平面曲线6、，7、测地二、是非题（每小题2分共10分）1-5：错，对，错，错，对。三、综合题（1-8每小题8分，第9小题10分，共74分）1、答：不存在（3分）因为不满足科达齐方程=0左边=（5分）2、解：因为，，

5、（4分）=（2分）（2分）3、解：设曲线（s为弧长参数）的切线曲面为，则有，，，（2分）E=1+，F=1，G=1L=M=0，N=0（2分）（1分）H=（1分）曲率线方程为=0，即s=常数，或v=-s+c（2分）4、解：因为为正交网，所以（3分）=-（2分）=（3分）5、解：因为E=（2分）由测地线方程为（2分），则测地线方程为（4分）6、证：因为是极小曲面，所以，为非平面，即有（2分）则K<0,所以极小曲面上的点是双曲点。必有两族渐近曲线。（2分）设两族渐近曲线主方向的交角为，则由欧拉公式有=（3分）两

6、族渐近曲线正交（1分）7、设曲线：（s为弧长参数）则为（1分）两边对s求导有（1）（1分）因为，上式两边点积有代入（1）（2分）即有（2）再求导有（3）（1分）（4）（1分）（4）再两边点积有由题意有，即证。（2分）8、证：设，的单位法向量为，则由题意有（1分）两边微分得（1分）由交线是的曲率线，则有（1分）因为，所以又因为为单位法向量，即有所以有（2分），，所以有

7、

8、（2分）即，所以也是的曲率线。（1分）9、（1）由题意沿有（2分）又因为，即k=0（2分）所以为直线。（1分）（2）：由题意为测地线，则

9、沿有（1分）又为曲率线，则沿的法线曲面是可展曲面，即有，（1分）即有，因（1分）代入有即证明了是平面曲线（2分）浙江师范大学《微分几何》考试卷考试类别使用学生数理学院数学专业本科考试时间120分钟表出卷时间2002年10月7日说明：考生应有将全部答案写在答题纸上，否则作无效处理一、填空题（30分）1、向量函数是定长的充要条件是.2、光滑曲线：，t∈R，若对任何的t有，则称为正则曲线。3、空间曲线中，弧长、和是参数变换下的不变量。4、曲线论的基本定理是。5、若曲线为贝特朗曲线，则曲率k和挠率满足的条件为。

10、6、若在P点有，则称P点为。7、若二个曲面之间存在既是等积又是共形的一个映射，则这个映射一定是。8、曲面为可展曲面的充要条件是曲面为、和。9、坐标网是渐近线网的充要条件是。10、若曲面上的曲线既是渐近线又是测地线，则是。11、曲面的切平面方程为，法线方程为。二、解答题1、，这样的曲面是否存在？（5分）2、求正螺面上的测地曲线的方程。（10分）3、若固定向量与曲线的所有法面平行，证明是平面曲线。（7分）4、证明渐近曲线上的点的测地曲率的绝对值