方差与频率分布-中考数学复习知识讲解例题解析强化训练

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1、2009年中考数学复习教材回归知识讲解+例题解析+强化训练方差与频率分布♦知识讲解1.方差的定义在一组数据X],X2,…，Xn中，各数据与它们的平均数匚的差的平方的平均数，叫做1--_这组数据的方差.通常用“S”表示，即S2=-[(X】一兀)2+(X2—兀)2+...+(xn-x)2].n2.方差的计算(1)基本公式1---S2=—[(Xj—X)2+(X2-X)2+...+(xn—X)2]n(2)简化计算公式(I)1r一J_S2=—[(Xi2+x22+...+xn2)—nx2],也可写成S2=—(X

2、2+x22+...+xn2)—X2,此公式nn的记忆方法是：方差等于

3、原数据平方的平均数减去平均数的平方.(3)简化计算公式(II)1-S2=—[(x'i2+x'22+...+x'n2)—nxx，2].n~当一组数据小的数据较大时，可以依照简化平均数的计算方法，将每个数据同时减去一个与它们的平均数接近的常'数a,得到一组数据x'i=X]—a,x、2=X2—a,...x'n=Xn—a,那么1-1_S2=—[(x')24-x'22+...+x'n2)~nx，2],也可写成S?=—(x'j2+x'224-...+x'n2)—x，2.记忆方n~n法是：方差等于新数据平方的平均数减去新数据平均数的平方.3.标准差的定义和计算方差的算术平方根叫做这

4、组数据的标准差，用表示，即S=y/s2=_[(%!—X)"+(X2—X)2++(x“_x)2Vn4.方差和标准差的意义方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，常用来比较两组数据的波动人小，我们所研究的权是这两组数据的个数相等、平均数相等或比较接近时的情况.方差较大的数据波动校大，方差较小的数据波动较小.5.频率分布的意义前而学习的平均数与方差，反映了样本和总体的两个特征：平均水平和波动大小.但是在许多问题中，只知道这些述不够，还需耍知道样本中数据在各个小范围所占的比例的大小,这就碍要研究如何对一组数据进行整理，以便得到它的频率分布.1.研究频率分布的一般步

5、骤及有关概念(1)研究样本的频率分布的一-般步骤：①计算极差(最大值与最小值的差)；②决定组距与组数；③决定分点；④列频率分布表；⑤画出频率分布直方图.(2)频率分布的冇关概念：①极差：最人值与最小值的差；②频数：落在各个小组内的数据的个数；③频率：每一小组的频数与数据总体(样本容量n)的比值叫做这一小组的频率.(3)几个重要的结论：①各小组的频数之和等于数据总数:②各小组的频率Z和等于1;③频率分布直方图中，各小长方形的而积等于相应各组的频率，各小长方形而积之和等于1;④各小长方形的高与该组频数成止比.♦例题解析例1甲、乙两个学习小组各4名学生的数学测验成绩如下(单

6、位：分)甲组：86828785乙组：85818589(1)分别计算这两组数据的平均数；(2)分别计算这两组数据的方差；(3)哪个学习小组学生的成绩比较整齐？【分析】应用平均数计算公式和方差的计算公式求平均数和方差.—1—1【解答】(1)Xt=-(6+2+7+5)+80=85,x乙二一(5+1+5+9)+80=85.44(2)S甲乙丄[(86—85)2+(82-85)2+(87—85)2+(85~85)2]=3.5,S乙？4=-[(85-85)2+(81-85)2+(85-85)24-(89-85)2]=8.4(3)TS乙2>S/,・••甲组学习成绩较稳定.【点评】方差

7、是反映一组数据波动大小的量.例2为了迎接全市体育中考，某中学对全校初三男生进行了立定跳远项冃测试，并从参加测试的500名男生中随机抽取了部分男生的测试成绩（单位：m,精确到0.01m）作为样本进行分析，绘制了如图所示的频率分布有方图（每组含最低值，不含最高值）.已知图中从左到右每个小长方形的高比依次为2：4：6：5：3,其中1.80〜2.00这一小组的频数为8,请根据有关信息解答下列问题：（1）这次调查的样本容量为,2.40〜2.60这一小组的频率为.（2）请指出样木成绩的屮位数落在哪一小组内，并说明理由；（3）样本屮男生立定跳远的人均成绩不低于多少米？（4）请估计该

8、校初三男生立定跳远成绩在2.00m以上（包括2.00m）的约有多少人？【分析】样本容量是样本数据，不带单位，确定中位数时，首先将样本数据按大小排序后再求出，然后分析落在哪个小组.【解答】（1）由于1.80〜2.00小组的频数为8,占总份数中的4份，总份数是20分,4故样本容最为：8-—=40.2.40〜2.60这个小组的频率为3-20=0.15.20（2）由于样本容量是40,则中位数是第20人和笫21人成绩的平均数，而第20人和第21人的成绩均在2.00〜2.20这个小组，则屮位数落在2.00〜2.20这个小组.（3）因为第一组到第五组人数依次为4人