毕业论文__泰勒展开式及其应用_伟【精品】

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1、泰勒公式及其应用摘要文章主要对泰勒公式在近似计算、求极限、证明不等式、外推、求曲线的渐近线方程和判断级数收敛性，对函数凹凸性及拐点判断、广义积分敛散性中的应用关于界的估计、和泰勒公式展开的唯一性问题做了简单系统的介绍和分析，从而体现泰勒公式式在微分学中占有很重要的地位.关键词泰勒公式；佩亚诺余项；拉格朗日余项；不等式；根的唯一存在性；极值；近似计算.—・引言近代微积分的蓬勃发展，促使几乎所有的数学大师都致力于相关问题的研究，特别是泰勒，笛卡尔，费马，巴罗，沃利斯等人作出了具有代表性的工作.泰勒公式是18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒在微积分学中将函

2、数展开成无穷级数而定义出来的•泰勒将函数展开成级数得到泰勒公式，对于一般函数设它在点兀。存在肓到77阶的导数，由这些导数构成一个斤次多项式丁/、_£/—・厂（兀0）/-/"（兀0）/、2,"（"）（兀0）/町（X）=/（X（））+--（兀一兀0）+~（x-x0）+•••+—（x-x0）,1!2!n称为函数/在点兀处的泰勒多项式，若函数/在点兀存在直至〃阶导数，则有f（朗=7；（兀）+0（（兀一兀0门,即fM=/（x0）+/z（x0）（x_x（））+/严）（X—兀（））2+…+-~（X-兀（））"+0（（兀-无）"）・2!n称为泰勒公式.我们都知道，泰勒公式是数学分析中

3、非常重要的内容，它的理论方法已经成为研究函数极限和估计误差等方面不可缺少的数学工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓。在近似计算上有着独特的优势，利用它可以将非线性问题化为线性问题，并能满足很高的精确度要求，在微积分的各个方面都有重要的应用.泰勒公式在分析和研究数学问题中有着重要作用，它可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某些点的数值、判断广义积分收敛性、近似计算、不等式证明等方而.这篇主要在于探索泰勒公式及其应用的新方法，借助泰勒公式的广泛应用，将泰勒公式的知识应用到数学解题的各个方面和领域中去，得出泰勒公式在数学各方面的应用和解求方法的简便性.二.预备知识2.

4、1泰勒公式的定义定义2.1⑴若函数/（兀）在心存在斤阶导数，则有/（兀）=/（兀0）+/（兀_兀0）+/（兀_兀0）2+…+-―（x-x0）;,+rn（x）,（1）n其中rn（兀）满足©（x）=0（（兀一兀。D上述公式称为/（兀）在点x=x（）处带有佩亚诺余项的的泰勒公式.当勺二0时，（1）式变成/（兀）=于（0）+斗21兀+厶譽f+...+£2*兀“+。（兀“）1!2!〃！称此式为（带有佩亚诺余项的）麦克劳林公式.定义2.2⑵若函数/（x）在勺某邻域内为存在直至〃+1阶的连续导数，则f（X）=/Uo）+f（兀0）（X-'卯（X-兀0）2+…+-~~学必（X-兀0）"+

5、rn（兀），（2）2!n这里/;（兀）为拉格朗口余项/;（兀）=/叶"広）—1,其屮孑在X与兀Z间,称（2）（〃+1）!为/在的泰勒公式.当x()二0时，(2)式变成f(兀)=f(0)+f(0)x+了()x2+…+—xn4-rn(兀)2!n称此式为（带有拉格朗日余项的）麦克劳林公式.常见函数的展开式：Oxex=l+x+—+•••+—2!nlS+l)!+O(/x2).2x4x6cosx=1+——-4F(1)2!4!6!sinx=x-—+-+(-1)〃3!5!x2w+1⑵2+1)!⑵7）!+o(x2h).n+=1+X+兀〜+…+f+O(X，1)yl-Xm(m-l)2兀_

6、+…2!定理2・W】（介值定理）设函数/在闭区间［讪上连续，且/（口）工/（方）,若“0为介于/（d）与/（b）之间的任何实数，则至少存在一点x（）w（d,b）,使得/（兀o）=“o・2.2泰勒公式的意义泰勒公式的意义是,用一个n次多项式来逼近函数/（X）.而多项式具有形式简单，易于计算等优点.泰勒公式由于（兀）的斤次泰勒多项式巳（x）和余项/?„（x）=6＞（（x-xo）n）组成，我们来详细讨论它们.当斤二1时，有（X）=/（x0）+/z（x0）（x-x0）,是尸/（兀）的曲线在点（兀0,/（无）））处的切线（方程），称为曲线）=/（兀）在点（x0,/（x0））的一次密

7、切，显然，切线与曲线的差异是较大的，只是曲线的近似.当斤二2时，有P2（x）=/（x0）+/z（x0）（x-x0）+^（））（X-%O）2,厶■是曲线y=/⑴在点（x0,/（x0））的“二次切线”，也称曲线j=/（%）在点（x0,/（x0））的二次密切.可以看岀，二次切线与曲线的接近程度比切线耍好.当次数越来越高时，接近程度越来越密切，近似程度也越来越高.2.3泰勒公式余项的类型泰勒公式的余项分为两类，一类佩亚诺型余项。（（兀-勺）”），一类是拉格朗日型余项一^/呦）忆）（兀-无严，它们的本质相同，但性质各异.0+1）!佩亚诺