2020版新设计一轮复习数学（理）江苏专版讲义：第三章 第三节 导数与函数的极值、最值 含答案

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1、第三节导数与函数的极值、最值1．函数的极值(1)函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值

2、点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．2．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．[小题体验]1．当x＝________时，函数f(x)＝x·2x取极小值．答案：－2．已知函数f(x)＝x－sinx，则f(x)在[

3、0，π]上的值域为________．答案：3．已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝________.解析：由题意得f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0得x＝±2，所以当x＜－2或x＞2时，f′(x)＞0；当－2＜x＜2时，f′(x)＜0，所以f(x)在(－∞，－2)上为增函数，在(－2,2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数．所以f(x)在x＝2处取得极小值，所以a＝2.答案：2求函数最值时，易误认为极值点就是最值点，不通过比较就下结论．[小题纠偏]1．函数f(x)＝x(1－x

4、2)在[0,1]上的最大值为________．解析：f′(x)＝1－3x2，令f′(x)＝0，得x＝∈[0,1]，当x∈时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当x∈时，f′(x)＜0，f(x)单调递减．所以f(x)max＝f＝.答案：2．已知a≤＋lnx对任意x∈恒成立，则a的最大值为________．解析：设f(x)＝＋lnx，则f′(x)＝＋＝.当x∈时，f′(x)＜0，故函数f(x)在上单调递减；当x∈(1,2]时，f′(x)＞0，故函数f(x)在(1,2]上单调递增，所以f(x)min＝f(1

5、)＝0，所以a≤0，即a的最大值为0.答案：0　[锁定考向]函数的极值是每年高考的必考内容，题型既有填空题，也有解答题．常见的命题角度有：(1)判断函数极值点的个数；(2)求函数的极值；(3)由函数极值求参数值或范围．　　　　[题点全练]角度一：判断函数极值点的个数1．(2018·江都中学检测)函数f(x)＝lnx－x2的极值点个数为________．解析：f(x)＝lnx－x2，x∈(0，＋∞)，f′(x)＝－2x＝，当0＜x＜时，f′(x)＞0，此时函数f(x)单调递增；当x＞时，f′(x)＜0，

6、此时函数f(x)单调递减，所以函数f(x)的极值点个数为1.答案：1角度二：求函数的极值2．(2018·苏北四市高三一模)已知函数f(x)＝x2＋ax＋1，g(x)＝lnx－a(a∈R)．当a＝1时，求函数h(x)＝f(x)－g(x)的极值．解：函数h(x)的定义域为(0，＋∞)．当a＝1时，h(x)＝f(x)－g(x)＝x2＋x－lnx＋2，所以h′(x)＝2x＋1－＝.令h′(x)＝0，得x＝或x＝－1(舍去)，当0＜x＜时，h′(x)＜0；当x＞时，h′(x)＞0，所以函数h(x)在区间上单调递

7、减，在区间上单调递增，所以当x＝时，函数h(x)取得极小值为＋ln2，无极大值．角度三：由函数极值求参数值或范围3．(2018·启东高三期末)设函数f(x)＝ax3＋x2＋4x＋1有极大值f(x1)和极小值f(x2)，若0＜x1＜1＜x2＜2，则实数a的取值范围为________．解析：由题意得f′(x)＝3ax2＋(3－7a)x＋4＝0的两根为x1，x2，且a＞0，因为0＜x1＜1＜x2＜2，f′(0)＝4＞0，所以即＜a＜5，所以实数a的取值范围为.答案：4．已知函数f(x)＝.(1)求函数f(x

8、)的单调区间；(2)设g(x)＝xf(x)－ax＋1，若g(x)在(0，＋∞)上存在极值点，求实数a的取值范围．解：(1)f(x)＝，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，所以f′(x)＝.当f′(x)＝0时，x＝1.f′(x)与f(x)随x的变化情况如下表：x(－∞，0)(0,1)1(1，＋∞)f′(x)－－0＋f(x)极小值故f(x)的增区间为(1，＋∞)，减区间为(－∞，0)和(0,1)．(2)g(x)＝ex－ax＋1，x∈(0，＋∞)，所以g′(