2020版新设计一轮复习数学（理）江苏专版讲义：第六章 第五节 数列的综合问题 含答案

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1、第五节数列的综合问题　[典例引领]若各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且2＝an＋1(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若正项等比数列{bn}，满足b2＝2,2b7＋b8＝b9，求Tn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn；(3)对于(2)中的Tn，若对任意的n∈N*，不等式λ(－1)n＜(Tn＋21)恒成立，求实数λ的取值范围．解：(1)因为2＝an＋1，所以4Sn＝(an＋1)2，且an＞0，则4a1＝(a1＋1)2，解得a1＝1，又4Sn＋1＝(an＋1＋1)2，所以4

2、an＋1＝4Sn＋1－4Sn＝(an＋1＋1)2－(an＋1)2，即(an＋1－an－2)(an＋1＋an)＝0，因为an＞0，所以an＋1＋an≠0，所以an＋1－an＝2，所以{an}是公差为2的等差数列，又a1＝1，所以an＝2n－1.(2)设数列{bn}的公比为q，因为2b7＋b8＝b9，所以2＋q＝q2，解得q＝－1(舍去)或q＝2，由b2＝2，得b1＝1，故bn＝2n－1.因为Tn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝1×1＋3×2＋5×22＋…＋(2n－1)×2n－1，所以2Tn＝1×

3、2＋3×22＋5×23＋…＋(2n－1)×2n，两式相减得－Tn＝1＋2(2＋22＋…＋2n－1)－(2n－1)×2n，故Tn＝(2n－1)×2n－1－2(2＋22＋…＋2n－1)＝(2n－1)×2n－1－2(2n－2)＝(2n－3)×2n＋3.(3)不等式λ(－1)n＜(Tn＋21)可化为(－1)nλ＜n－＋.①当n为偶数时，λ＜n－＋，记g(n)＝n－＋，则有λ＜g(n)min.因为g(n＋2)－g(n)＝2＋－＝2－，当n＝2时，g(n＋2)＜g(n)，当n≥4时，g(n＋2)＞g(n)，即

4、g(4)＜g(2)，当n≥4时，g(n)单调递增，g(n)min＝g(4)＝，所以λ＜.②当n为奇数时，λ＞－n－，记h(n)＝－n－，则有λ＞h(n)max.因为h(n＋2)－h(n)＝－2－＋＝－2＋，当n＝1时，h(n＋2)＞h(n)，当n≥3时，h(n＋2)＜h(n)，即h(3)＞h(1)，当n≥3时，h(n)单调递减，h(n)max＝h(3)＝－3，所以λ＞－3.综上所述，实数λ的取值范围为.[由题悟法]1．数列与不等式的综合问题考查类型(1)判断数列中的一些不等关系问题；(2)以数列为

5、载体，考查不等式的恒成立问题；(3)考查与数列问题有关的不等式的证明问题．2．解决数列与不等式问题的两个注意点(1)利用基本不等式或函数的单调性求解相关最值时，应注意n取正整数的限制条件．(2)利用放缩法证明不等式、求解参数的范围时，尽量先求和、后放缩，注意放缩的尺度，否则会导致范围扩大或缩小而得不到正确的结果．[即时应用]已知数列{an}满足a1＝6，a2＝20，且an－1·an＋1＝a－8an＋12(n∈N*，n≥2)．(1)证明：数列{an＋1－an}为等差数列；(2)令cn＝＋，数列{cn

6、}的前n项和为Tn，求证：2n＜Tn＜2n＋.证明：(1)当n＝2时，a1·a3＝a－8a2＋12，所以a3＝42.当n≥2时，由an－1·an＋1＝a－8an＋12，得an·an＋2＝a－8an＋1＋12，两式相减得anan＋2－an－1an＋1＝a－a－8an＋1＋8an，所以a＋anan＋2－8an＝a＋an－1an＋1－8an＋1，即an(an＋an＋2－8)＝an＋1(an＋1＋an－1－8)，所以＝＝…＝＝2.所以an＋2＋an－8＝2an＋1，即an＋2－2an＋1＋an＝8，即(a

7、n＋2－an＋1)－(an＋1－an)＝8，当n＝1时，也满足此式．又a2－a1＝14，所以数列{an＋1－an}是以14为首项，8为公差的等差数列．(2)由(1)知an＋1－an＝14＋8(n－1)＝8n＋6.由a2－a1＝8×1＋6，a3－a2＝8×2＋6，…，an－an－1＝8×(n－1)＋6，累加得an－a1＝8×[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋6(n－1)＝8×＋6(n－1)＝4n2＋2n－6，所以an＝4n2＋2n.所以cn＝＋＝＋＝＋＝2＋2，所以Tn＝2n＋2＝2n＋2，又＞－＝＝

8、＞0，所以2n＜Tn＜2n＋.　[典例引领]已知数列{an}中，a1＝1，a2＝a，且an＋1＝k(an＋an＋2)对任意正整数n都成立，数列{an}的前n项和为Sn.(1)若k＝，且S2018＝2018a，求a的值；(2)是否存在实数k，使数列{an}是公比不为1的等比数列，且对任意相邻三项am，am＋1，am＋2按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有k的值；若不存在，请说明理由．解：(1)当k＝时，an＋1＝(an＋an＋2)，即an＋2－an＋1＝an＋1－an，所以数列