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《（江苏专用）2020版高考数学复习第八章立体几何高考专题突破四高考中的立体几何问题教案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、高考专题突破四 高考中的立体几何问题题型一 平行、垂直关系的证明例1(2018·南京、盐城、连云港模拟)如图，已知矩形ABCD所在平面与△ABE所在平面互相垂直，AE＝AB，M，N，H分别为DE，AB，BE的中点．(1)求证：MN∥平面BEC；(2)求证：AH⊥CE.证明 (1)方法一 取CE的中点F，连结FB，MF.因为M为DE的中点，F为CE的中点，所以MF∥CD且MF＝CD.又因为在矩形ABCD中，N为AB的中点，所以BN∥CD且BN＝CD，所以MF∥BN且MF＝BN，所以四边形BNMF为平行四
2、边形，所以MN∥BF.又MN⊄平面BEC，BF⊂平面BEC，所以MN∥平面BEC.方法二 取AE的中点G，连结MG，GN.因为G为AE的中点，M为DE的中点，所以MG∥AD.又因为在矩形ABCD中，BC∥AD，所以MG∥BC.又因为MG⊄平面BEC，BC⊂平面BEC，所以MG∥平面BEC.因为G为AE的中点，N为AB的中点，所以GN∥BE.又因为GN⊄平面BEC，BE⊂平面BEC，所以GN∥平面BEC.又因为MG∩GN＝G，MG，GN⊂平面GMN，所以平面GMN∥平面BEC.又因为MN⊂平面GMN，所
3、以MN∥平面BEC.(2)因为四边形ABCD为矩形，所以BC⊥AB.因为平面ABCD⊥平面ABE，平面ABCD∩平面ABE＝AB，BC⊂平面ABCD，且BC⊥AB，所以BC⊥平面ABE.因为AH⊂平面ABE，所以BC⊥AH.因为AB＝AE，H为BE的中点，所以BE⊥AH.因为BC∩BE＝B，BC⊂平面BEC，BE⊂平面BEC，所以AH⊥平面BEC.又因为CE⊂平面BEC，所以AH⊥CE.思维升华(1)平行问题的转化利用线线平行、线面平行、面面平行的相互转化解决平行关系的判定问题时，一般遵循从“低维”到
4、“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而应用性质定理时，其顺序正好相反．在实际的解题过程中，判定定理和性质定理一般要相互结合，灵活运用．(2)垂直问题的转化在空间垂直关系中，线面垂直是核心，已知线面垂直，既可为证明线线垂直提供依据，又可为利用判定定理证明面面垂直作好铺垫．应用面面垂直的性质定理时，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，从而把面面垂直问题转化为线面垂直问题，进而可转化为线线垂直问题．跟踪训练1如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直
5、于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，BC的中点．(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；(2)求证：C1F∥平面ABE；(1)证明 在三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥底面ABC.因为AB⊂平面ABC，所以BB1⊥AB.又因为AB⊥BC，BC∩BB1＝B，所以AB⊥平面B1BCC1.又AB⊂平面ABE，所以平面ABE⊥平面B1BCC1.(2)证明 方法一 如图1，取AB中点G，连结EG，FG.因为E，F分别是A1C1，BC的中点，所以FG∥AC，且FG＝AC.因
6、为AC∥A1C1，且AC＝A1C1，所以FG∥EC1，且FG＝EC1，所以四边形FGEC1为平行四边形，所以C1F∥EG.又因为EG⊂平面ABE，C1F⊄平面ABE，所以C1F∥平面ABE.方法二 如图2，取AC的中点H，连结C1H，FH.因为H，F分别是AC，BC的中点，所以HF∥AB，又因为E，H分别是A1C1，AC的中点，所以EC1∥AH，且EC1＝AH，所以四边形EAHC1为平行四边形，所以C1H∥AE，又C1H∩HF＝H，AE∩AB＝A，所以平面ABE∥平面C1HF，又C1F⊂平面C1HF，
7、所以C1F∥平面ABE.题型二 立体几何中的计算问题命题点1 求线线角和线面角例2如图，在棱长为3的正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1E＝CF＝1.(1)求异面直线AC1与BE所成角的余弦值；(2)求直线BB1与平面BED1F所成角的正弦值．解 (1)以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系D－xyz，如图，则A(3,0,0)，C1(0,3,3)，＝(－3,3,3)，B(3,3,0)，E(3,0,2)，＝(0，－3,2)．所以cos〈，〉＝＝＝－，故异面直
8、线AC1与BE所成角的余弦值为.(2)B1(3,3,3)，＝(0,0,3)，＝(3,0，－1)．设平面BED1F的一个法向量为n＝(x，y，z)，由得所以则n＝(x,2x,3x)，不妨取n＝(1,2,3)．设直线BB1与平面BED1F所成的角为α，则sinα＝
9、cos〈，n〉
10、＝＝＝.故直线BB1与平面BED1F所成角的正弦值为.思维升华(1)利用向量求直线与平面所成的角有两个思路：①分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹
