2020版高考数学新设计一轮复习浙江专版讲义：第八章第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程含答案

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1、第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.(2)范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)．2．斜率公式(1)直线l的倾斜角为α(α≠)，则斜率k＝tan_α.(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝.3．直线方程的五种形式名称几何条件方程适用范围斜截式纵截距、斜率y＝kx＋b与x轴不垂直的直线点斜式过一点、斜率y－y0＝k(x－x0)两点式过两点＝与两坐标轴均不垂直的直线截距式纵、横截距

2、＋＝1不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)所有直线4．线段的中点坐标公式若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则此公式为线段P1P2的中点坐标公式．[小题体验]1．设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l1，则直线l1的倾斜角为(　　)A．α＋45°　　　　　　　　　B．α－135°C．135°－αD．α＋45°或α－135°解析：选D　由倾斜角的取值范围知，只有当0°≤α＋45°＜180°，即0°≤α＜135°时，l1的倾斜角才是α＋45°.而0°≤

3、α＜180°，所以当135°≤α＜180°时，l1的倾斜角为α－135°，故选D.2．下列说法中正确的是(　　)A.＝k表示过点P1(x1，y1)，且斜率为k的直线方程B．直线y＝kx＋b与y轴交于一点B(0，b)，其中截距b＝

4、OB

5、C．在x轴和y轴上的截距分别为a与b的直线方程是＋＝1D．方程(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)表示过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线解析：选D　对于A，直线不包括点P1，故A不正确；对于B，截距不是距离，是B点的纵坐标，其值可正可负，故B不正确；对于C，经过原点的直线在两坐标轴上的截距都是0，不能表示为＋＝1，故C不正确；对

6、于D，此方程为直线两点式方程的变形，故D正确．故选D.3．(2018·嘉兴检测)直线l1：x＋y＋2＝0在x轴上的截距为________；若将l1绕它与y轴的交点顺时针旋转90°，则所得到的直线l2的方程为________________．解析：对于直线l1：x＋y＋2＝0，令y＝0，得x＝－2，即直线l1在x轴上的截距为－2；令x＝0，得y＝－2，即l1与y轴的交点为(0，－2)，直线l1的倾斜角为135°，∴直线l2的倾斜角为135°－90°＝45°，∴l2的斜率为1，故l2的方程为y＝x－2，即x－y－2＝0.答案：－2　x－y－2＝01．点斜式、斜截式方程适用于不垂直于x轴的直线；两

7、点式方程不能表示垂直于x，y轴的直线；截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线．2．截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为零，在与截距有关的问题中，要注意讨论截距是否为零．3．求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应注意分类讨论，即应对斜率是否存在加以讨论．[小题纠偏]1．直线xcosα＋y＋2＝0的倾斜角的范围是(　　)A.∪B.∪C.D.解析：选B　设直线的倾斜角为θ，则tanθ＝－cosα，又cosα∈[－1,1]，所以－≤tanθ≤，又0≤θ＜π，且y＝tanθ在和上均为增函数，故θ∈∪.故选B.2．过点(5,10)，且到原点的距离为5的直线方程是________

8、．解析：当斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0满足题意；当斜率存在时，设其为k，则所求直线方程为y－10＝k(x－5)，即kx－y＋10－5k＝0.由距离公式，得＝5，解得k＝.故所求直线方程为3x－4y＋25＝0.综上知，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.答案：x－5＝0或3x－4y＋25＝0[题组练透]1．若直线l经过A(2,1)，B(1，－m2)(m∈R)两点，则直线l的倾斜角α的取值范围是(　　)A.B.C.D.解析：选C　因为直线l的斜率k＝tanα＝＝m2＋1≥1，所以≤α＜.故倾斜角α的取值范围是.2．经过P(0，－1)作直线l，若直线l与连接A(1，－2)，B

9、(2,1)的线段总有公共点，则直线l的斜率k和倾斜角α的取值范围分别为________，________.解析：如图所示，结合图形，若l与线段AB总有公共点，则kPA≤k≤kPB，而kPB＞0，kPA＜0，故k＜0时，倾斜角α为钝角，k＝0时，α＝0，k＞0时，α为锐角．又kPA＝＝－1，kPB＝＝1，∴－1≤k≤1.又当0≤k≤1时，0≤α≤；当－1≤k＜0时，≤α＜π.故倾斜角α的取值范围为α∈∪.答案：