初中数学中“数形结合”的运用

《初中数学中“数形结合”的运用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、初中数学中“数形结合”的运用一、以数助形“数(代数)”与“形(儿何)”是中学数学的两个主要研究对象，而这两个方面是紧密联系的.体现在数学解题中，包括“以数助形”和“以形助数”两个方面.“数”与“形”好比数学的“左右腿”.全面理解数与形的关系，就要从“以数助形”和“以形助数”这两个方面来体会.此外还应该注意体会“数”与“形”各自的优势与局限性，相互补充•“数缺形时少直觉，形少数时难入微；数形结合白般好，隔离分家力事非华罗庚的这四句诗很好地总结了“数形结介、优势互补”的精要，“数形结合”是一种非常重要的数

2、学方法，也是一种重要的数学思想，在以后的数学学习中有重要的地位.要在解题屮有效地实现“数形结介”，最好能够明确“数”与“形”常见的结合点，，从“以数助形”角度来看，主要冇以下两个结合点：(1)利用数轴、坐标系把几何问题代数化(在高中我们还将学到用“向量”把儿何问题代数化)；(2)利用面积、距离、角度等儿何量来解决儿何问题，例如：利用勾股定理证明直角、利用三角函数研究角的大小、利用线段比例证明相似等.例1.已知平面直角坐标系中任意两点必)和3(兀2,间的距离可以用公式AB=J(西一兀2)2+()[—儿)

3、2计算•利用这个公式计算原点到直线y=2兀+10的距离.解：设P(兀，2兀+10)是直线y=2x+l0上的任意一点，它到原点的距离是OP=7U-0)2+(2x+10-0)2=J5(x+4)2+20当%=-4时，0作小=2>/5•所以原点到直线y=2x+10的距离为2亦.【说明】建立坐标系，利用坐标及相关公式处理一些几何问题，冇时可以避免添加辅助线(这是平而儿何的一人难点).在高中“解析儿何”里，我们将专门学习利用坐标将儿何问题代数化.例2.已知&ABC的三边长分别为加$-n2、2mn和m2+/?2(/

4、z7>n为正整数，FL加>n).求AABC的面积(用含欣〃的代数式表示).【分析】已知三角形三边求面积一般称为“三斜求积”问题，可用“海伦公式”计算，但运用“海伦公式”一般计算比较繁，能避免最好不用.本题能不能避免用“海伦公式”，这要看所给的三角形有没有特殊Z处.代数运算比较过硬的人可能利用平方差公式就可以心算出來：(m2+/?2)2-(m2-/i2)2=(2/)(2/)=(2/nn)2,也就是说,AABC的三边满足勾股定理,即ABC迢一个直角三角形.“海伦公式”：三角形三边氏为日、b、c,p为周t

5、的一半，则三角形的面积S为：S=』p(p-a)(p-b)(p-c)•解：由三边的关系：(m2-n2)24-(2mn)2=(m2+n2)2.所以ABC是直角三角形.所以ISABC的面积=—m2-n2)(2777/?)=mn(m2-n2)【说明】利用勾股定理证明垂直关系是比较常用的“以数助形”的手法•另外，熟练的代数运算在这道题中起到了比较重耍的作用.代数运算是学好数学的一个基本功，就像武侠小说中所说的“内功”，没有一定的内功，单单依靠所谓的“武林秘笈”是起不了多少作用的.例3.直线y=bx--c与

6、抛物线y=ax2相交，两交点的横坐标分別为兀］、x2,直线y=bx+c与x轴的交点的横坐标为七•求证：丄=丄+丄.勺西尤2【分析】木题是研究抛物线和直线相交的相关问题，只是由于&、方、c的符号不确立，导致抛物线和直线在坐标系中位直不确定，考虑问题需要进行分类讨论，比较麻烦.如果将问题代数化，看成有关方程的问题，进行相关的计算，就省去了分类的麻烦.解：•・•直线y=/u+c与油II的交点的横坐标为兀3，bx3+c=0.1b—=V直线y=bx+c与抛物线y=q/两交点的横处标分别为西、••-X］、兀2为关

7、于/的一元二次方程d/-hx-c=0的两个不等实根.a.1」_州+兀2■■r=ha兀］x2x}x2例4・将如图的五个边长为1的正方形组成的十字形剪拼成一个正方形.【分析】这是一类很常见的问题.如果单单从“形”的角度来思考，恐怕除了试验，没有其它更好的办法了.但是如果我们先不忙考虑怎样剪裁，而是先从“数”的角度来算一下，我们不难利用面积算出剪拼出来的正方形边氏应该是亦.现在我们只需要在图中找出来一段边长为厉的线段，以此为一边作一个止方形（如图），我们就不难设计出各种剪裁方法了.【说明】有人把这种方法叫做

8、“面积法”，其实“面积法”这个名字并没有揭示这类方法的所有本质.“面积”是剪拼问题中的一个“不变暈”，几乎所有的剪拼问题,都可以先抓住“面积”这个不变量來进行“数”的计算.另一方面，“面积”本身就是从“数”的角度来刻画“图形”的大小特征的一个概念.因此，所谓“面积法”，实际上就是“数形结合”这种数学思想的一种具体体现.二、以形助数几何图形具有直观易懂的特点，所以在谈到“数形结合”吋，更多的老师和学生更偏好于“以形助数”，利用儿何图形解决代数问题，常常会产