高考数学难点突破难点23求圆锥曲线方程[精选]

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1、难点23求圆锥曲线方程求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点，主要考查学生识图、画图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力，解决好这类问题，除要求同学们熟练掌握好圆锥曲线的定义、性质外，命题人述常常将它与对称问题、弦长问题、戢值问题等综合在一起命制难度较人的题，解决这类问题常用定义法和待定系数法.•难点磁场2.2】.(★★★★★)双曲线一——=1@WN)的两个焦点戸、F2,P为双曲线上一点，IOPI4『<5,IPF

2、l,IF】F2l,IPF2咸等比数列，则h2=.》(★★★★)如图，设圆P满足：

3、①截y轴所得弦长为2；②被兀轴分成两段圆弧，其弧长比为3：1,在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线厶x—2)=0的距离最小的圆的方程.•案例探究［例1］某电厂冷却塔的外形是如图所示的双曲线的一部分，绕其中轴(即双曲线的虚轴)旋转所成的曲面，其中A、A'是双曲线的顶点，C、C'是冷却塔上口直径的两个端点,B、B'是下底直径的两个端点,已知A4'=14m,CCr=22m,塔高20m.22mB(1)建立坐标系并写出该双曲线方程.(2)求冷却塔的容积(梢确到10n?,塔壁厚度不计，〃収3.14).命题意图：本题考查选择适当的

4、坐标系建立曲线方程和解方程组的基础知识，考查应用所学积分知识、思想和方法解决实际问题的能力，属★★★★★级题目.知识依托：待定系数法求曲线方程；点在曲线上，点的朋标适合方程；积分法求体积.错解分析：建立恰当的坐标系是解决本题的关键，积分求容积是本题的重点.技巧与方法：木题第一问是待定系数法求曲线方程，第二问是积分法求体积.解：如图，建立直角处标系Qy,使必‘在x轴上，AAf的中点为坐标原点O,CC与平行于x轴.设双曲线方程为才斧@＞。上＞。),贝畑尹=7乂设B(llj】),C(9对因为点B、C在双曲线上,所以有由题意,知

5、$2—yi=20,由以上三式得:yi=—12j2=8,b=7V2故双曲线方程为匚-丄=1・4998(2)由双曲线方程，得x2=1/+49设冷却塔的容积为V(m3),则x2dy=7F((丄严+49妙，=兀(丄：/+49刃1爲，经丄12丄1226计算，得V=4.25X103(m3)答：冷却塔的容积为4.25X103m3.72［例2］过点(1,0)的直线/与中心在原点,焦点在兀轴上且离心率为仝的椭圆C相交于A、B两点，直线尸*兀过线段AB的中点，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线/对称，试求直线/打椭圆C的方程.命题意图：本

6、题利用对称问题來考杳川待定系数法求1111线方程的方法,设计新颖，基础性强，属★★★★★级题目.知识依托：待定系数法求曲线方程，如何处理直线与圆锥曲线问题，对称问题.错解分析：不能恰当地利用离心率设岀方程是学牛容易犯的错误•恰当地利用好对称问题是解决好本题的关键.技巧与方法：木题是典型的求圆锥曲线方程的问题，解法一，将4、3两点坐标代入圆锥曲线方程，两式相减得关于直线AB斜率的等式.解法二，用韦达定理.解法一：山e=—=^-，得=丄，从而a2=2h2,c=h.设椭圜方程为<+2汽2尸£(兀』)/(疋,)，2)在椭圆上.则

7、xj2+2y12=2/22,%22+2>-22=2/?2,两式相减得,(%

8、2—x22)+2(},

9、2—设AB中点为(xojo),则灯b=—半-，乂(xojo)在直线尸2乳上为=二忌,于是一-=2y°222儿—1,灯p=—1,设/的方程为)=—X+1.右焦点(b,0)关于/的对称点设为X,y‘),/亠=1L解得——4+1x=1y=-h〔22由点(1,1一方)在椭圆上，得U2(-h)2=2hh2=—,a2=-168・••所求椭圆C的方程为竽+訝斗的方程为尸-沁解法二：由气二拿得乎冷从而8—设椭圆C的方程为x2+2yr

10、=2bl的方程为尸饥tT),将I的方程代入C的方程，得(1+2疋)兀2—4鸟2¥+2疋一2/?2=0,则X］+X°=―,丁

11、+『2二R(兀1〜1+2/—1)+k(X2~1)=k(x

12、+X2)—2k=—2k1+2疋直线，：号过^的中点(宁,¥)，则盏斗ill百解得S或血若R=0,则I的方程为尸0,焦点F(c,O)关于直线I的对称点就是F点本身，不能在椭圆C上，所以£=0舍去，从而k=—9直线Z的方程为)=—(x—1),即尸—兀+1,以下同解法一.27［例3］如图，已知△PP2的面积为仝，P为线段P

13、P2的一•个三等

14、分点，求以直线4OPi、OP2为渐近线且过点P的离心率为匹的双曲线方程.2命题意图：本题考查待定系数法求双曲线的方程以及综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力，属***★★级题目.知识依托：定比分点坐标公式；三角形的而积公式；以及点在曲线上，点的坐标适合方程.错解分析：利川离心率恰当地找出双曲线的渐近线方程是木题的