2018高考数学（理）热点题型 函数与导数

《2018高考数学（理）热点题型 函数与导数》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、函数与导数热点一利用导数研究函数的性质利用导数研究函数的单调性、极值、最值是高考的热点问题之一，每年必考，一般考查两类题型：(1)讨论函数的单调性、极值、最值，(2)利用单调性、极值、最值求参数的取值范围.【例1】已知函数f(x)＝lnx＋a(1－x).(1)讨论f(x)的单调性；(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a－2时，求实数a的取值范围.1解(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a.x若a≤0，则f′(x)＞0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增.10，若a＞0，则当x∈a时，f′(x)＞0；1，＋∞

2、当x∈a时，f′(x)＜0，110，，＋∞所以f(x)在a上单调递增，在a上单调递减.综上，知当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；110，，＋∞当a＞0时，f(x)在a上单调递增，在a上单调递减.(2)由(1)知，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上无最大值；11111－当a＞0时，f(x)在x＝处取得最大值，最大值为fa＝ln＋aa＝－lna＋a－aa1.1因此fa＞2a－2等价于lna＋a－1＜0.令g(a)＝lna＋a－1，则g(a)在(0，＋∞)上单调递增，g(1)＝0.于是，当0＜a＜1时，g(a)＜0；当a

3、＞1时，g(a)＞0.因此，实数a的取值范围是(0，1).【类题通法】(1)研究函数的性质通常转化为对函数单调性的讨论，讨论单调性要先求函数定义域，再讨论导数在定义域内的符号来判断函数的单调性.(2)由函数的性质求参数的取值范围，通常根据函数的性质得到参数的不等式，再解出参数的范围.若不等式是初等的一次、二次、指数或对数不等式，则可以直接解不等式得参数的取值范围；若不等式是一个不能直接解出的超越型不等式时，如求解lna＋a－1<0，则需要构造函数来解.【对点训练】已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)ex(x∈R，e为自然对

4、数的底数).(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)若函数f(x)在(－1，1)上单调递增，求实数a的取值范围.解(1)当a＝2时，f(x)＝(－x2＋2x)ex，所以f′(x)＝(－2x＋2)ex＋(－x2＋2x)ex＝(－x2＋2)ex.令f′(x)>0，即(－x2＋2)ex>0，因为ex>0，所以－x2＋2>0，解得－2

5、＋ax)ex＝[－x2＋(a－2)x＋a]ex，所以[－x2＋(a－2)x＋a]ex≥0对x∈(－1，1)都成立.因为ex>0，所以－x2＋(a－2)x＋a≥0对x∈(－1，1)都成立，x2＋2x（x＋1）2－1即a≥＝x＋1x＋11＝(x＋1)－对x∈(－1，1)都成立.x＋111令y＝(x＋1)－，则y′＝1＋>0.x＋1（x＋1）21所以y＝(x＋1)－在(－1，1)上单调递增，x＋1133所以y<(1＋1)－＝.即a≥.1＋1223因此实数a的取值范围为a≥.2热点二利用导数研究函数零点或曲线交点问题函数的零点、方程的根

6、、曲线的交点，这三个问题本质上同属一个问题，它们之间可相互转化，这类问题的考查通常有两类：(1)讨论函数零点或方程根的个数；(2)由函数零点或方程的根求参数的取值范围.m【例2】设函数f(x)＝lnx＋，m∈R.x(1)当m＝e(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值；x(2)讨论函数g(x)＝f′(x)－零点的个数.3e解(1)由题设，当m＝e时，f(x)＝lnx＋，xx－e定义域为(0，＋∞)，则f′(x)＝，由f′(x)＝0，得x＝e.x2∴当x∈(0，e)，f′(x)＜0，f(x)在(0，e)上单调递减，当x∈(e，

7、＋∞)，f′(x)＞0，f(x)在(e，＋∞)上单调递增，e∴当x＝e时，f(x)取得极小值f(e)＝lne＋＝2，e∴f(x)的极小值为2.x1mx(2)由题设g(x)＝f′(x)－＝－－(x＞0)，3xx2313令g(x)＝0，得m＝－x＋x(x＞0).313设φ(x)＝－x＋x(x＞0)，3则φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)，当x∈(0，1)时，φ′(x)＞0，φ(x)在(0，1)上单调递增；当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)＜0，φ(x)在(1，＋∞)上单调递减.∴x＝1是φ(x)的唯一极值点，且是极大值点，

8、因此x＝1也是φ(x)的最大值点.2∴φ(x)的最大值为φ(1)＝.3又φ(0)＝0，结合y＝φ(x)的图象(如图)，2可知①当m＞时，函数g(x)无零点；32②当m＝时，函数g(x)有且只有一个零点；32③当0＜m＜时，函数g(x)有两个零点；3④当m≤0时，