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1、2.3邻域与邻域系定义2.3.1设(X,T)是一个拓扑空间，xwX,UuX,满足条件：3VGT使得XGV(={/,则称U是点兀的一个邻域.点兀的所有邻域构成的X的子集族，称为兀的邻域系.若U为包含点兀的一个开集，则U—定是点兀的一个邻域，此时称U是点兀的一个开邻域.定理2・3・1拓扑空间X的一个子集U是开集<=>V.reU,U是点兀的一个邻域.证明：“=>”显然.“U”若U=0,则U为开集.下设UH0,由条件，对VxGt/,日开集/•使得兀wuU,因此U二u(/丫u(/,故U二u,故U是一个开集..teU.xeU*.xeUa以下定理2.3.2概括了邻域系的基本性
2、质.定理2.3.2设X是一个拓扑空间，设为XGX的邻域系，则(1)对VxgX,Ux^0.若UGUx,则xeU.(2)若u,vgU.则unve[/.(3)若UwU’,UuV,则VwUx,(4)如果UwU=,则存在VWt/工满足条件(i)VuU,(/7)VyeV,有VwU、••证明：(1)对xgX,由X为一个开集，所以XgUx,因此/H0.再由邻域的定义,一个点的邻域必包含这个点本身.(2)设U,Vw则弓开集使得xwt/()uU.xwV()uV,从而xgU{)nV0czunV,由Uor>V()是一个开集，故Unvet/x.(3)设UwUx,由UUv,则存在开集(7°
3、,使得xgUQcU.从而xg(70eV,因此VwUx.(4)设UwU=,令V为满足条件XGVCU的任何一个开集，则V已满足(i),再由定理2.3.1,V也满足(力).定理2・3・3设X是一个集合，又设对于每一点xgX指定了X的一个子集族并且它们满足定理2.3.2中的条件(1)—(4),则X有惟一的一个拓扑T使得对于每一点xwX,子集族恰好是点x心拓扑空间(X,T)中的邻域系.定义2・3・2设X,Y是两个拓扑空间，如果/(x)6Y的每一个邻域U的原象厂'(U)是xwX的一个邻域，则称/是一个在点x处连续的映射.简称/在点兀处连续.定理2・3・4设X,Y和Z都是拓扑
4、空间，贝9(1)恒等映射。：XTX在每一点兀wX处连续，(2)如果在点兀处连续，g：Y^Z在/⑴处连续，则g。/：XtZ点兀处连续.定理2・3・5设X,Y是两个拓扑空间，/:XTY,则映射/连续O对0XGX映射于在点x处连续.证明:“n”设/连续，兀wX,若U是f(x)的一个邻域，则存在开集V使得/(x)GVet/,于是xgf-l(V)(z/-l(CJ)f其屮)是一个开集，从而f~U)是无的一个邻域，故/在点X处连续.“u”设对VxgX,/在点兀处连续，若UCY是一个开集，则对V^gu是/co的一个邻域，因此对r[(u)fru)是x的一个邻域，因此厂'(U)
5、是一个开集，从而/连续.2.5内部边界定义2.5.1设X是一个拓扑空间，AUX,如果A是点xwX的一个邻域，则称点X是集合A的一个内点，集合A的所有内点构成的集合称为A的内部，记为A°.定理2.5.1设X是一个拓扑空间，AUX,贝=因此A-=A,g,.证明：设xgA0,则A是点兀的一个邻域，由于AnAz=0,所以A7-,即A,_,.于是A°cA,_,.反之，若A-*,即xeA'，亦即x有一个邻域V,使得Vc"=0,从而VUA,于是A也是x的一个邻域，从而jcwA°,于是A°z)A-1.综上所述.=/T'.欲证第二个等式，将4代换成第一个式中的A,并将所得到的等式
6、两边取补集即可.以下定理2.5.2—定理2.5.5可视为与定理2.4.4—定理2.4.7完全对偶的一组定理.定理2・5・2拓扑空I'可X的子集A是开集OA°=A.定理2.5.3设X是一个拓扑空间，则对于任意A,BCX有(1)X°=X；(2)AoA°；(1)(AcB)°=A°CB°；(2)A00=A°.定理2・5・4X是一个拓扑空问，VACX,则为开集.定理2・5・5设X是一个拓扑空间，T是X的拓扑，则对于X的每个子集A,有二OBUeT.BuA注：由定理2.5.5易见，一个集合的内部是包含于这个集合的最大的开集.定义2.5.2设X是一个拓扑空间，ACX,点xeX，
7、如果满足条件：对点x的任意一个邻域U,UCAH0,UCA‘H0,则称兀为集合A的一个边界点.集合A的全体边界点构成的集合称为A的边界，记为3(A).定理2.5.6设X是一个拓扑空间,ACX,WJA_=A,0*=A0u3(A)；A°=二/T—d(A)；3(A)=A~cA,_=(A°uA,())证明：在定理2.5.1中已证A~=A,Or,A°=A",xwd(A),即对点兀的任意一个邻域U,UCAH0,UC”H0,即xg且xw/T,亦即d(A)二ZTc/T./以下证明剩下的等式.A_nA"=A,(}1nA(),=(A()uA,(,)；A0u3(A)=A0u(A_nA,
8、_)=(A°uA")n(
