数学学年论文毕业论文重积分的计算方法

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1、重积分的计算方法摘要：木文介绍了儿种重积分的计算方法，着重从累次积分的计算、变量代换等方法阐述二重积分的计算，同时介绍了一类特殊的二重积分的计算方法，并由二重积分的计算方法推广到三重积分的计算。关键词：二重积分，三重积分，变量代换，对称法引言：重积分包括二重积分和三重积分，它是定积分的推广；被积函数由一元函数于⑴推广为二元函数/（x,y）（三元函数;积分范围由数轴上的区域推广为平面域（二重积分）和空间域（三重积分）。我个人在学习与复习多重积分这一块时，感到多重积分的计算比较繁琐，而在日常生活中多重积分有着很多的应用。通过在图书馆

2、查阅资料、以及老师的指点，重积分的计算方法还是有规律可循的。为了更好的应用重积分，本人结合前人的经验，在这里系统介绍儿种常用的重积分计算方法，以及一•些小技巧。着重介绍累次积分的计算与变量代换。一.二重积分的计算1.常用方法（1）化累次积分计算法对于常用方法我们先看一个例子（北京师范大学，2002年）⑴例1・计算二重积分-x2dxdy,其中£>为区域

3、x

4、<1,0

5、的计算求得二重积分值，分析上面的例子累次积分法其主耍步骤如下：第一步：画出积分区域D的草图；第二步：按区域D和被积函数的情况选择适当的积分次序，并确定积分的上、下限；第三步：计算累次积分。需要强调一点的是，累次积分要选择适当的积分次序。积分次序的不同将影响计算的繁简，有些题这两种次序的难易程度可以相差很大，甚至对一种次序可以“积出来”，而对另一种次序却“积不出来”。所以，适当选择积分次序是个很重要的工作。选择积分次序的原则是：尽可能将区域少分块，以简化计算过程；第一次积分的上、下限表达式要简单，并凡容易根据第一次积分的结果作第二

6、次积分。D是由y=O,y=«r，兀=1围成的区域先也出区域Q的图形，如图2先对y后对兀积分，则由D:阳8知0fsinx,^_dx^dy=^_xdx=如果先对x后对y积分，由于不能用初等函数表示，这时重积分“积JX不出来”。更换积分次序的理论依据是什么呢？对于给定一个二重积分,若分别把它化为积分次序不同的二次积分而得下列等式：JJ7（兀*）da=^dxf（兀,y）dy①口心y）d（J=fdyJ：：f（x,ylx②D则显然有fdx『（?.f（x,y）t/y=fdy[；；>y（x,y

7、）t/x③如果首先给出③式中的一个二次积分（例如左端），而此吋又无法计算结果或比较麻烦，则我们可以写出③式中的另一个二次积分（例如右端），这时重积分重要问题则转化为更换积分次序问题。例3・试更换Fdx「/（兀,y）dy的积分次序解：把先对y枳分更换为先对兀枳分由原累次积分的上、下限可得x'<(x)=1-X一1O=a

8、2，其屮0

9、2000年)设/(兀)在[d,刃上连续，证明fdx『f(y)dy=^(b-x)f(x)dxIjK：改变枳分顺序得：fdx打fdyff(y)dx=£(/?-y}f(y)dy=J-x)f(x)dx(2)变量替换法在计算定积分吋，求积的困难在丁被积函数的原函数不易求得。从而适当地利用换元法的好处是可以把被积函数的形状进行转化，以便于用基木求积公式。在计算重积分时，求积的困难来自两个方面，除了被积函数的原因以外还在于积分区域的多样性。而且，有时候其积分区域往往成为困难的主要方面。为此,针对不同的区域要讨论重积分的各种不同算法。例4.(湖

10、北大学2002年，中南矿治学院)求jp礼如其中DD={(x,y)

11、x+y0,y>0}解：令V=-lx=u-v则D变成了可以说变量替换法步骤如下:i.若可微分的连续函数兀=心°)』=血，“把。小上的有限区域d单值唯-地映射平面塚上的域"及雅哥比式心皺讣。