高考热点题型(一)

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1、高考热点题型(一)利用导数证明不等式问題变勰2—ax—xlnx,且f(x)>0.1.(2017-11121,12分)已知函数f(x)=ax⑴求a；-20等价于g(x)>0.因询1)=0,g(x)>0,故g'H于0,而gkjj=a—1、g(1)=a—1?得a=1-x卄1若a=1,般)(=1—%.当01时，g(x)〉O，g(x)单调递增，所以x=1是g(x)的极小值点，故g(x)>g(1

2、)=0.综上，a=1.⑵证明:由⑴知f(x)=x_x—如x,_f(x)=2x-2-mx.脉)=老_匚1討h(x)V0；彳)当xw0,_1当XW，+00时，h(X)>0・_2E1所以h(x)在0,Inx,跚=2—、x.12,+co上单调递增.2)>0,又h(e-2上单调递减在h2<0,h(1)=0,所以h(x)在0,2上有唯一零点xo,在1,上有唯一零点1,且当xg(0,Xo)时，h(x)>0；当xu(xo，1)时，h(x)<0；当xg(1,+oo)时，h(x)>0.因ftf=h(x),所以x=xo是f(x)的唯一极大值点.&STO^_nXOH2(XO—1L玮f(xo)Hxb(1—xo)

3、・wi列1由xoQ,1)得f(xo)<4.琏0,1),f(e-1)*0得f(xo)>f(e因湘=xo是f(x)在(0，1)的最大值点，由e-22所以e-0).(1)若函数f(x)有零点，求实数a的取值范围2—1(2)证明：当a>,b>1时，f(inb)>b・_e_a解：(1)方法一：函数f(x)=lnx+的定义城，+oo).x—a1a2・得冈=—2=XXXXa由f(x)=Inx+x因射>0，则xe(0,a)时，f(x)<0；x^a,+^)时,f(x)>0・所以函数f(x)在(0，a

4、)上单调递减在(a,+◎上单调递增(-1当x=a时，f(x)min=Ina+1._当lna+1<0,即00,则函数f(x)有零点;当lna+1>0时，函数f(x)无零点.(一】所以实数a的取值范方法二：函数ana的定义城，xa由f(x)=Inx+x=O,得a=—xlnx.令g(x)=—xlnx,贝!]gkj(=—(Inx+1).11当xw0，e,+s时，g(x)VO・e吋，g(x)>0；当xg所以函数g(x)在0,°上单调递增在e11故当x=时，函数g(x)取得最大值ge=ea因而函数f(x)=Inx4-+8上单调递减111—eln=e.ex有零

5、点，“1解ase.(斗所以实数a的取值罔肉IJe.(2)证明：令h(x)=xlnx+a,Rt)(=lnx+1.11当Ovxv(丨]e时，h卤<0」当x>e时，h(x)AO.1_1所以函敎h(x)在0,©上单调递减在e,+00上单调递增_1_1当X=时，h(X)min=—+a.e-一er2于是，当an时，e11h(x)-—+a>e.exqi-X).Xx令©x)=xe-,xe-=e_当0VXV1时，0(x)>o；当x>1时，0(x)vo.所以函数朝)在(0,1)上单调递增在(仁+◎上单调递减1当X=1时，(p(xjmax=e.-1于是，当x>0时，0x)se显然，不等式①②中的等号不能同

6、吋成立2故当x>0,a>x■时，xlnx+a>xe-一e因肉>1,所以Inb>0.Inb■所以Inbln(lnb)+a>Inbe-a1所以ln(lnb)+lnb>b1即f(lnb)>b.