2017_18版高中数学第三单元导数及其应用疑难规律方法教学案

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1、第三单元导数及其应用1　巧用法则求导数导数的计算包括八个基本初等函数的导数公式，以及和、差、积、商的导数运算法则，它们是导数概念的深化，也是导数应用的基础，起到承上启下的作用．那么在掌握和、差、积、商的导数运算法则时，要注意哪些问题？有哪些方法技巧可以应用？下面就以实例进行说明．1．函数和(或差)的求导法则(f(x)±g(x))′＝f′(x)±g′(x)例1　求下列函数的导数：(1)f(x)＝＋lnx；(2)f(x)＝cosx－－1.解　(1)f′(x)＝－＋.(2)f′(x)＝－sinx－.点评　记住基本初等函数的导数公式是正确求解导数的关键

2、，此外函数和(或差)的求导法则可以推广到任意有限个可导函数和(或差)的求导．2．函数积的求导法则[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)例2　求下列函数的导数：(1)f(x)＝x2ex；(2)f(x)＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)．解　(1)f′(x)＝(x2ex)′＝(x2)′ex＋x2(ex)′＝2xex＋x2ex.(2)f′(x)＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′＝[(x＋1)(x＋2)]′(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)(x＋3)′＝[(x＋1)′(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)′](x＋3)＋(x＋1)(x

3、＋2)＝(x＋2＋x＋1)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)＝(2x＋3)(x＋3)＋x2＋3x＋2＝3x2＋12x＋11.点评　特别要注意：[f(x)g(x)]′≠f′(x)g′(x)．同时要记住结论：若C为常数，则[Cf(x)]′＝Cf′(x13)，由此进一步可以得到[af(x)±bg(x)]′＝af′(x)±bg′(x)．3．函数商的求导法则′＝(g(x)≠0)例3　求下列函数的导数：(1)f(x)＝；(2)f(x)＝tanx；(3)f(x)＝＋.解　(1)f′(x)＝()′＝＝.(2)f′(x)＝(tanx)′＝()′＝＝.(3)因为f(

4、x)＝＋＝＝，所以f′(x)＝()′＝＝.点评　应在求导之前，先利用代数、三角恒等变换对函数进行化简，然后再求导，这样可以减少运算，提高运算效率．4．分式求导对于能够裂项的分式型函数，可将函数转化为几个单项式的和差形式，然后再利用和差的导数公式来解决．例4　求下列函数的导数：(1)y＝；(2)y＝.分析　直接求导，或比较烦杂，或无从下手，这时，我们不妨利用数学运算法则将其分解，那么“曙光就在前头”．13解　(1)因为y＝＝x－1＋，所以y′＝1＋＝1－.(2)因为y＝＝x2＋x3＋x4，所以y′＝2x＋3x2＋4x3.点评　本题启示我们，对于某

5、些函数式，我们应先根据它的结构特点，适当地对函数式中的项进行合理的“拆”，然后“各个击破”．2　利用导数求切线方程曲线的切线问题是高考的常见题型之一．而导数f′(x0)的几何意义为曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，所以利用导数解决相切问题是常用的方法．下面对“求过一点的切线方程”的题型做以下归纳．1．已知切点，求曲线的切线方程此类题只需求出曲线的导数f′(x)，并代入点斜式方程即可．例1　曲线f(x)＝x3－3x2＋1在点(1，－1)处的切线方程为(　　)A．y＝3x－4B．y＝－3x＋2C．y＝－4x＋3D．y＝4x－

6、5解析　由f′(x)＝3x2－6x知，曲线在点(1，－1)处的斜率为k＝f′(1)＝－3.所以切线方程为y－(－1)＝－3(x－1)，即y＝－3x＋2.故选B.答案　B2．已知过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法．例2　求过曲线f(x)＝x3－2x上的点(1，－1)的切线方程．解　设P(x0，y0)为切点，则切线的斜率为f′(x0)＝3x－2.所以切线方程为y－y0＝(3x－2)(x－x0)，即y－(x－2x0)＝(3x－2)·(x－x0)．又知切线过点(1，－1)，所以－1－(x－

7、2x0)＝(3x－2)(1－x0)，解得x0＝1或x0＝－.13故所求切线方程为y－(1－2)＝(3－2)(x－1)或y－(－＋1)＝(－2)·(x＋)，即x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0.点评　可以发现直线5x＋4y－1＝0并不以(1，－1)为切点，实际上是经过点(1，－1)，且以(－，)为切点的直线．这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点．3．已知过曲线外一点，求切线方程此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解．例3　求过点(2,0)且与曲线f(x)＝相切的直线方程．解　设P(x0，y0)为切点，则切线的斜率为f′(x0)＝－.

8、所以切线方程为y－y0＝－(x－x0)，即y－＝－(x－x0)．又已知切线过点(2,0)，把它代入上述方程，得－＝－(2－x0)．解得x0＝1，y0＝