《点集拓扑学》第5章 §5.2 可分空间

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1、§5.2 可分空间  本节重点:  掌握可分空间的定义及可分空间与第二可数性公理空间的关系,与度量空间的关系;  掌握稠密子集的定义及性质.  定义5.2.l 设X是一个拓扑空间,DX.如果D的闭包等于整个拓扑空间X,即=X,则称D是X的一个稠密子集.  以下定理从一个侧面说明了讨论拓扑空间中的稠密子集的意义.  定理5.2.1 设X是一个拓扑空间,D是X中的一个稠密子集.又设f,g:X→Y都是连续映射.如果,则f=g(本定理说明两个映射只须在稠密子集上相等,就一定在整个空间相等)  证明 设.如果f≠g,则存在x∈X使得f(x)≠g(x).令:

2、ε=

3、f(x)-g(x)

4、,  则ε>0.令  =(f(x)-ε/2,f(x)+ε/2)  =(g(x)-ε/2,g(x)+ε/2)  则根据映射f和g的连续性可知都是x的邻域,从而U=也是x的一个邻域.由于子集D是稠密的,所以U∩D≠.对于任意一个y∈U∩D,我们有,f(y)=g(y)∈,矛盾.  我们也希望讨论有着较少“点数”稠密子集的拓扑空间,例如具有有限稠密点集的拓扑空间.但这类拓扑空间比较简单,大部分我们感兴趣的拓扑空间都不是这种情形,讨论起来意思不大.例如一个度量空间如果有一个有限的稠密子集的话,那么这个空间一定就是一个离散空间.相反

5、,后继的讨论表明,许多重要的拓扑空间都有可数稠密子集.  定义5.2.2 设X是一个拓扑空间.如果X中有一个可数稠密子集,则称X是一个可分空间.  定理5.2.2 每一个满足第二可数性公理的空间都是可分空间.  证明 设X是一个满足第二可数性公理的空间,B是它的一个可数基.在B中的每一个非空元素B中任意取定一个点∈B.令  D={

6、B∈B,B≠}这是一个可数集.由于X中的每一个非空开集都能够表示为B中若干个元素(其中当然至少会有一个不是空集)之并,因此这个非空开集一定与D有非空的交,所以可数集D是X的一个稠密子集.  包含着不可数多个点的离散空间

7、一定不是可分的.这是因为在这样一个拓扑空间中,任何一个可数子集的闭包都等于它的自身而不可能等于整个空间.  可分性不是一个可遗传的性质,也就是说一个可分空间可能有子空间不是可分的.例子见后面的例5.2.1.然而由于满足第二可数性公理是一个可遗传的性质,因此根据定理5.2.2我们立即得到:  推论5.2.3 满足第二可数性公理的空间的每一个子空间都是可分空间.  特别,n维欧氏空间中的每一个子空间(包括它自己)都是可分空间.  例5.2.1 设(X,T)是一个拓扑空间,∞是任何一个不属于X的元素(例如我们可以取∞=X).令X*=X∪{∞}和T*={

8、A∪{∞}

9、A∈T}∪{}.容易验证(请读者自己证明)(X*,T*)是一个拓扑空间.  我们依次给出以下三个论断:  (1)(X*,T*)是可分空间.这是因为∞属于(X*,T*)中的每一个非空开集,所以单点集{∞}是(X*,T*)中的一个稠密子集.  (2)(X*,T*)满足第二可数性公理当且仅当(X,T)满足第二可数性公理.  事实上,B是(X,T)的基当且仅当B*={B∪{∞}

10、B∈B}是(X*,T*)的一个基,而B与B*有相同的基数则是显然的.  (3)(X,T)是(X*,T*)的一个子空间.因为T*T.  根据这三个论断,我们可有以下两个

11、结论:  (A)可分空间可以不满足第二可数性公理.因为如果任意选取一个不满足第二可数性公理的空间(X,T),我们便能得到一个不满足第二可数性公理的可分空间(X*,T*).  (B)可分空间的子空间可以不是可分空间.因为如果选取(X,T)为一个不是可分的空间,我们便能得到一个可分空间(X*,T*)以(X,T)为它的一个子空间.  (对X加上一个点后得到的空间就是这么神奇)  定理5.2.4 每一个可分的度量空间都满足第二可数性公理.  证明(略)  根据定理5.2.4及推论5.2.3可知:  推论5.2.5 可分度量空间的每一个子空间都是可分空间.

12、  有关可分性是拓扑不变性质,有限可积性质,可商性质以及对于开子空间可遗传性质等问题我们列在习题中,由读者自己去研究.  作业:  P144 2.4

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