课标通用高考数学一轮复习第六章数列6.4数列求和学案理

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1、§6.4　数列求和考纲展示►　考点1　公式法求和1.公式法直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和．(1)等差数列的前n项和公式：Sn＝＝na1＋d.(2)等比数列的前n项和公式：Sn＝2．倒序相加法与并项求和法(1)倒序相加法：如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的．(2)并项求和法：在一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两

2、项合并求解．例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5050.非等差、等比数列求和的常用方法：倒序相加法；并项求和法．(1)[教材习题改编]一个球从100m高处自由落下，着地后又跳回到原高度的一半再落下，当它第10次着地时，经过的路程是(　　)A．100＋200×(1－2－9)B．100＋100(1－2－9)C．200(1－2－9)D．100(1－2－9)答案：A(2)[教材习

3、题改编]已知函数f(n)＝n2cosnπ，且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100＝________.-14-答案：－100解析：因为f(n)＝n2cosnπ＝所以f(n)＝(－1)n·n2，由an＝f(n)＋f(n＋1)＝(－1)n·n2＋(－1)n＋1·(n＋1)2＝(－1)n[n2－(n＋1)2]＝(－1)n＋1·(2n＋1)，得a1＋a2＋a3＋…＋a100＝3＋(－5)＋7＋(－9)＋…＋199＋(－201)＝50×(－2)＝－100.数列求和的两个易错点：公比为参数；项数的

4、奇偶数．(1)设数列{an}的通项公式是an＝xn，则数列{an}的前n项和Sn＝________.答案：Sn＝解析：当x＝1时，Sn＝n；当x≠1时，Sn＝.(2)设数列{an}的通项公式是an＝(－1)n，则数列{an}的前n项和Sn＝________.答案：Sn＝解析：若n为偶数，则Sn＝0；若n为奇数，则Sn＝－1.[典题1]　(1)已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，则数列{an}的前9项和等于________．[答案]　27[解析]　由a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，可

5、知数列{an}是首项为1，公差为的等差数列，故S9＝9a1＋×＝9＋18＝27.(2)若等比数列{an}满足a1＋a4＝10，a2＋a5＝20，则{an}的前n项和Sn＝________.[答案]　(2n－1)[解析]　由题意a2＋a5＝q(a1＋a4)，得20＝q×10，故q＝2，代入a1＋a4＝a1＋a1q3＝10，得9a1＝10，即a1＝.-14-故Sn＝＝(2n－1)．[点石成金]　数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差或等比或可求数列前n项和的数列来求之．考点2　

6、分组转化法求和　　　　　　　　　　　　　　　　分组求和法若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．(1)数列1，3，5，…，的前n项和Sn＝________________.答案：n2＋1－(2)已知数列{an}中，an＝设数列{an}的前n项和为Sn，则S9＝________.答案：377[典题2]　已知数列{an}的通项公式是an＝2·3n－1＋(－1)n·(ln2－ln3)＋(－1)nnln3，求其前n项和Sn.[解]　由通项公式知，Sn＝2(1

7、＋3＋…＋3n－1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n]·(ln2－ln3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)nn]ln3，所以当n为偶数时，Sn＝2×＋ln3＝3n＋ln3－1；当n为奇数时，Sn＝2×－(ln2－ln3)＋ln3-14-＝3n－ln3－ln2－1.综上知，Sn＝[点石成金]　分组转化法求和的常见类型(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组转化法求{an}的前n项和．(2)通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比或等差数列，可采用分组转化法求和．[

8、提醒]　某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论.在等差数列{an}中，已知公差d＝2，a2是a1与a4的等比中项．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝a，记Tn＝－b1＋b2－b3＋b4－…＋(－1)nbn，求Tn.解：(1)由题意知，(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，即(a1＋2)2＝a1(a1＋6)，解得a1＝