高等数学函数与极限试题

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1、高等数学第一章函数与极限试题一.选择题1.设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数,表示“M的充分必要条件是N”,则必有(A)F(x)是偶函数f(x)是奇函数.(B)F(x)是奇函数f(x)是偶函数.(C)F(x)是周期函数f(x)是周期函数.(D)F(x)是单调函数f(x)是单调函数2.设函数则(A)x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点.(B)x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点(C)x=0是f(x)的第一类间断点,x=1是f(x)的第二类间断点.(D)x=0是f(x)的第二类间断点,x

2、=1是f(x)的第一类间断点.3.设(x)=,x≠0,1,则[]=()A)1-xB)C)D)x4.下列各式正确的是()A)=1B)=eC)=-eD)=e5.已知,则()。A.1;B.;C.;D.。6.极限:()A.1;B.;C.;D.7.极限:=()A.1;B.;C.0;D.2.8.极限:=()A.0;B.;C;D.2.9.极限:=()A.0;B.;C.2;D..10.极限:=()A.0;B.;C.;D.16.二.填空题11.极限=.12.=_______________.13.若在点连续,则=_

3、______________;14.___________;15._________________;16.若函数,则它的间断点是___________________17.绝对值函数其定义域是,值域是18.符号函数其定义域是,值域是三个点的集合19.无穷小量是20.函数在点x0连续,要求函数y=f(x)满足的三个条件是三.计算题21.求22.设f(e)=3x-2,求f(x)(其中x>0);23.求(3-x);24.求();25.求26.已知,求的值;27.计算极限28.求它的定义域。29.判断下

4、列函数是否为同一函数:⑴ f(x)=sin2x+cos2xg(x)=1⑵⑶     ⑷⑸y=ax2s=at230.已知函数f(x)=x2-1,求f(x+1)、f(f(x))、f(f(3)+2)31.求32.求33.求34.求35.判断下列函数在指定点的是否存在极限⑴⑵36.37.38. 39.求当x→∞时,下列函数的极限 40.求当x→∞时,下列函数的极限41.41.42.43.44.45.46.47.48.研究函数在指定点的连续性x0=049.指出下列函数在指定点是否间断,如果间断,指出是哪类间

5、断点。,x=150.指出下列函数在指定点是否间断,如果间断,指出是哪类间断点。,x=051.指出下列函数在指定点是否间断,如果间断,指出是哪类间断点。,x=052.证明f(x)=x2是连续函数53.54.55.试证方程2x3-3x2+2x-3=0在区间[1,2]至少有一根56.57.试证正弦函数y=sinx在(-∞,+∞)内连续。58.函数f(x)=çxç=在点x=0处是否连续?59.函数=是否在点连续?60.求极限.答案:一.选择题1.A【分析】本题可直接推证,但最简便的方法还是通过反例用排除法

6、找到答案.【详解】方法一:任一原函数可表示为,且当F(x)为偶函数时,有,于是,即,也即,可见f(x)为奇函数;反过来,若f(x)为奇函数,则为偶函数,从而为偶函数,可见(A)为正确选项.方法二:令f(x)=1,则取F(x)=x+1,排除(B)、(C);令f(x)=x,则取F(x)=,排除(D);故应选(A).【评注】函数f(x)与其原函数F(x)的奇偶性、周期性和单调性已多次考查过.请读者思考f(x)与其原函数F(x)的有界性之间有何关系?2.D【分析】显然x=0,x=1为间断点,其分类主要考虑

7、左右极限.【详解】由于函数f(x)在x=0,x=1点处无定义,因此是间断点.且,所以x=0为第二类间断点;,,所以x=1为第一类间断点,故应选(D).【评注】应特别注意:,从而,3C4A5C67A8∵x→∞时,分母极限为令,不能直接用商的极限法则。先恒等变形,将函数“有理化”:原式=.(有理化法)9D10解原式.▌错误!注等价无穷小替换仅适用于求乘积或商的极限,不能在代数和的情形中使用。如上例中若对分子的每项作等价替换,则原式.二.填空题11.212.113.014.515.16.17.18.19

8、.在某一极限过程中,以0为极限的变量,称为该极限过程中的无穷小量20.①函数y=f(x)在点x0有定义;②x→x0时极限存在;③极限值与函数值相等,即三.计算题21.【分析】型未定式,一般先通分,再用罗必塔法则.【详解】===22.(x)=3lnx+1x>023.24.25.26.;27.328.解:由x+2≥0解得x≥-2由x-1≠0解得x≠1由5-2x>0解得x<2.5函数的定义域为{x|2.5>x≥-2且x≠1}或表示为(2.5,1)∪(1,-2)29.⑴、⑸是同一函数,因为

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