2019-2020年高中数学 第3章 不等式 3.2 均值不等式 第2课时 基本不等式的应用-证明问题同步练习 新人教B版必修5

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1、2019-2020年高中数学第3章不等式3.2均值不等式第2课时基本不等式的应用-证明问题同步练习新人教B版必修5一、选择题1.a、b、c是互不相等的正数,且a2+c2=2bc,则下列关系中可能成立的是(  )A.a>b>c         B.c>a>bC.b>a>c D.a>c>b[答案] C[解析] ∵a、c均为正数,且a≠c,∴a2+c2>2ac,又∵a2+c2=2bc,∴2bc>2ac,∵c>0,∴b>a,排除A、B、D,故选C.2.设{an}是正数等差数列,{bn}是正数等比数列,且a1=b1,a21=b21,则(  )A.a

2、11=b11 B.a11>b11C.a110,bn>0,a1=b1,a21=b21,∴a11==≥=b11,等号成立时,b1=b21,即此时{an}、{bn}均为常数列,故选D.3.若正数x、y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是(  )A. B.C.5 D.6[答案] C[解析] 本题考查了均值不等式的应用.由x+3y=5xy得+=1,∴3x+4y=(3x+4y)·(+)=+++≥2+=+=5,当且仅当=时,得到最小值5.4.已知R1、R2是阻值不同的两个电阻,现分别按图

3、①、②连接,设相应的总阻值分别为RA、RB,则RA与RB的大小关系是(  )A.RA>RB B.RA=RBC.RA0,所以RA>RB.5.已知a>1,b>1,且lga+lgb=6,则lga·lgb的最大值为(  )A.6   B.9    C.12   D.18[答案] B[解析] ∵a>1,b>1,∴lga>0,lgb>0,又lga+lgb=6,∴lga·lgb≤()2=()2=9,故选B.6.某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为800元.若每批生产x件

4、,则平均仓储时间为天,且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品(  )A.60件 B.80件C.100件 D.120件[答案] B[解析] 由题意知仓储x件需要的仓储费为元,所以平均费用为y=+≥2=20,当且仅当x=80等号成立.二、填空题7.已知+=2(x>0,y>0),则xy的最小值是________.[答案] 6[解析] +≥2,∴2≤2,∴xy≥6.8.若实数x、y满足x2+y2+xy=1,则x+y的最大值是________.[答案] [解析] ∵x2+y2+xy=1,∴

5、(x+y)2=xy+1.又∵xy≤()2,∴(x+y)2≤()2+1,即(x+y)2≤1.∴(x+y)2≤.∴-≤x+y≤.∴x+y的最大值为.三、解答题9.已知a、b、c∈R,求证:++≥(a+b+c).[解析] ∵≤,∴≥=(a+b)(a,b∈R等号在a=b时成立).同理≥(b+c)(等号在b=c时成立).≥(a+c)(等号在a=c时成立).三式相加得++≥(a+b)+(b+c)+(a+c)=(a+b+c)(等号在a=b=c时成立).10.已知a>0,b>0,且a+b=1,求证:(a+1)2+(b+1)2≥.[解析] ∵a>0,b>0

6、,∴a+b≤,∴(a+1)+(b+1)≤,又∵a+b=1,∴3≤,∴(a+1)2+(b+1)2≥,当且仅当a=b=时,等号成立.∴(a+1)2+(b+1)2≥.一、选择题1.若a、b、c、d、x、y是正实数,且P=+,Q=·,则有(  )A.P=Q B.P≥QC.P≤Q D.P>Q[答案] C[解析] Q=·=≥=+=P.2.已知x≥,则f(x)=有(  )A.最大值 B.最小值C.最大值1 D.最小值1[答案] D[解析] ∵x≥,∴x-2>0,则f(x)==≥1,等号在x-2=即x=3时成立.3.已知y>x>0,且x+y=1,那么( 

7、 )A.x<x>0,且x+y=1,∴设y=,x=,则=,2xy=.∴x<2xy<;②a>

8、a-b

9、-b;③a2+b2>4ab-3b2;④ab+>2,其中恒成立的序号为(  )A.①③ B.①④C.②③ D.②④[答案] D[解析] ∵a、b∈R+时,a+b≥2,∴≤1,∴≤,∴①不恒成立,排除A、B;∵ab+≥2>2恒成立,故选D.二、填空题5.建造一个容积为8m3,深为2m的长方

10、体无盖水池,如果池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元,那么水池的最低总造价为__________元.[答案] 1760[解析] 设水池池底的一边长为xm,则另一边长为m,则总造价为:

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