抽象函数的奇偶性周期性对称性

抽象函数的奇偶性周期性对称性

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1、......抽象函数的周期性与对称性知识点梳理一、抽象函数的对称性定理1.若函数定义域为,且满足条件:,则函数的图象关于直线对称。推论1.若函数定义域为,且满足条件:,则函数的图像关于直线对称。推论2.若函数定义域为,且满足条件:),则函数的图像关于直线对称。总结:x的系数一个为1,一个为-1,相加除以2,可得对称轴方程推论3.若函数定义域为,且满足条件:,又若方程有个根,则此个根的和为。定理2.若函数定义域为,且满足条件:(为常数),则函数的图象关于点对称。推论1.若函数定义域为,且满足条件:成立,则的图象关于点对称。推论2.若函数定义域为,且满足条件:(为常

2、数),则函数的图象关于点对称。总结:x的系数一个为1,一个为-1,f(x)整理成两边,其中一个的系数是为1,另一个为-1,存在对称中心。定理3.若函数定义域为,则函数与两函数的图象关于直线对称(由可得)。推论1.函数与函数的图象关于直线对称。专业word可编辑......推论2.函数与函数的图象关于直线对称。定理4.若函数定义域为,则函数与的图象关于点对称。推论.函数与函数图象关于点对称。二、抽象函数的周期性定理5.若函数定义域为,且满足条件,则是以为周期的周期函数。推论1.若函数定义域为,且满足条件,则是以为周期的周期函数。推论2.若函数满足条件则是以为周期的

3、周期函数。推论3.若函数满足条件则是以为周期的周期函数。定理7.若函数的图象关于直线与对称,则是以为周期的周期函数。定理8.若函数的图象关于点与点对称,则是以为周期的周期函数。定理9.若函数的图象关于直线与点,则是以为周期的周期函数。总结:x的系数同为为1,具有周期性。1.定义在R上的函数f(x)满足:f(x)·f(x+2)=13,f(1)=2,则f(99)=(  )A.13     B.2C.D.2.已知奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数,且最小值为5,那么函数f(x)在区间[-7,-3]上(  )A.是增函数且最小值为-5B.是增函数且最大值为-5专业

4、word可编辑......C.是减函数且最小值为-5D.是减函数且最大值为-53.已知函数f(x+1)是奇函数,f(x-1)是偶函数,且f(0)=2,则f(4)=________.4.对于定义在R上的函数f(x),有下述四个命题,其中正确命题的序号为________.①若f(x)是奇函数,则f(x-1)的图象关于点A(1,0)对称;②若对x∈R,有f(x+1)=f(x-1),则y=f(x)的图象关于直线x=1对称;③若函数f(x-1)的图象关于直线x=1对称,则f(x)为偶函数;④函数y=f(1+x)与函数y=f(1-x)的图象关于直线x=1对称.5.已知定义域

5、为R的函数f(x)=是奇函数.(1)求a、b的值;(2)若对任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求k的取值范围.6.设函数f(x)的定义域关于原点对称,且满足①f(x1-x2)=;②存在正常数a,使f(a)=1.求证:(1)f(x)是奇函数;(2)f(x)是周期函数,并且有一个周期为4a.1、若函数对一切实数都有f(2+x)=f(2-x)则()A.f(2)

6、y=f(1-x)的图象关于()对称。A.直线y=0B.直线x=0C.直线y=1D.直线x=1专业word可编辑......3、已知定义为R的函数满足,且函数在区间上单调递增.如果,且,则的值()A.恒小于0B.恒大于0C.可能为0D.可正可负4、函数y=f(x)是定义在实数集R上的函数,那么y=-f(x+4)与y=f(6-x)的图象之间(D)A.关于直线x=5对称B.关于直线x=1对称C.关于点(5,0)对称D.关于点(1,0)对称5、设f(x)是定义在R上的函数,且满足f(10+x)=f(10-x),f(20-x)=-f(20+x),则f(x)是()A.偶函数

7、,又是周期函数B.偶函数,但不是周期函数C.奇函数,又是周期函数D.奇函数,但不是周期函数6、已知函数是定义在实数集上的不恒为零的偶函数,且对任意实数都有,则的值是()A.0B.C.1D.7、已知,,,…,,则().A.B.C.D.38、在数列则=9、定义域为R,且对任意都有,若则=10、已知f(x)是R上的偶函数,对都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立,若f(1)=2,则f(2011)=11、函数在R上有定义,且满足是偶函数,且,是奇函数,则的值为12、设f(x)是定义在R上的偶函数,且f(1+x)=f(1-x),当-1≤x≤0时,f(x)=-x,则f(8

8、.6)=_______专

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