沪科版2019秋九年级数学上册专题 10.难点探究专题：相似与几何图形的综合问题

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1、难点探究专题：相似与几何图形的综合问题——突破相似与三角形、四边形等综合问题及含动点的解题思路　　　　　　　　　　　　　　　　类型一　相似与三角形1．(娄底中考)一块直角三角板ABC按如图放置，顶点A的坐标为(0，1)，直角顶点C的坐标为(－3，0)，∠B＝30°，则点B的坐标为．第1题图　　　　　第2题图2．(无锡中考)如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处．再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段B′F的长为（）A.B.C.D.类型二　相似与四边形3．★

2、(黄石中考)现有多个全等直角三角形，先取三个拼成如图①所示的形状，R为DE的中点，BR分别交AC，CD于P，Q，易证BP∶PQ∶QR＝3∶1∶2.(1)若取四个直角三角形拼成如图②所示的形状，S为EF的中点，BS分别交AC，CD，DE于P，Q，R，则BP∶PQ∶QR∶RS＝；(2)若取五个直角三角形拼成如图③所示的形状，T为FG的中点，BT分别交AC，CD，DE，EF于P，Q，R，S，则BP∶PQ∶QR∶RS∶ST＝.4．★★(安徽中考)如图①，在四边形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，过点E作AB的垂线，过点F作CD的垂线，两垂线交于点G，连接AG、BG、CG、DG，且

3、∠AGD＝∠BGC.(1)求证：AD＝BC；(2)求证：△AGD∽△EGF；(3)如图②，若AD、BC所在直线互相垂直，求的值．类型三　运用相似解决几何图形中的动点问题5．如图，在正方形ABCD中，M是BC边上的动点，N在CD上，CN＝CD，若AB＝1，设BM＝x，当x＝时，以A、B、M为顶点的三角形和以N、C、M为顶点的三角形相似．6．★(钦州中考)如图，在平面直角坐标系中，以点B(0，8)为端点的射线BG∥x轴，点A是射线BG上的一个动点(点A与点B不重合)，在射线AG上取AD＝OB，作线段AD的垂直平分线，垂足为E，与x轴交于点F，过点A作AC⊥OA，交射线EF于点C，连接O

4、C、CD，设点A的横坐标为t.(1)用含t的式子表示点E的坐标为；(2)当t为何值时，∠OCD＝180°？7．★如图，在一块直角三角板ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，将另一个含30°角的△EDF的30°角的顶点D放在AB边上，E、F分别在AC、BC上，当点D在AB边上移动时，DE始终与AB垂直，若△CEF与△DEF相似，求AD的长度．参考答案：1．(－3－，3)　解析：如图，过点B作BE⊥x轴于点E.易证△EBC∽△OCA，∴＝＝.∵点A的坐标为(0，1)，点C的坐标为(－3，0)，∴OA＝1，OC＝3，∴AC＝＝.在Rt△ACB中，∠B＝30°，∴AB＝2AC＝2

5、，∴BC＝＝，∴＝.∴BE＝3，EC＝，∴EO＝EC＋CO＝＋3，∴点B的坐标为(－3－，3)．2．B　解析：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝5.∵将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处，∴AE＝DE，CE⊥AB.易得△AEC∽△ACB，∴＝，∴AE＝.∵S△ABC＝AB·CE＝AC·BC，∴CE＝.∵将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，∴∠ECF＝45°，∴EF＝CE＝，∴BF＝AB－AE－EF＝5－－＝.故选B.3．(1)4∶1∶3∶2　(2)5∶1∶4∶2∶3　解析：(1)由题意可知ABBC＝CE＝BE.设CQ＝a.

6、∵S是EF的中点，∴EF＝2ES.∵CD∥EF，∴△BCQ∽△BES，∴＝＝，∴ES＝2CQ＝2a，∴AB＝CD＝EF＝2ES＝4a，QD＝3a.∵AB∥CD，∴△ABP∽△CQP，∴＝＝.同理：＝＝，＝＝.∴BP∶PQ∶QR∶RS＝4∶1∶3∶2.故答案为4∶1∶3∶2；(2)设CP＝b.由题意可知BC＝CE＝EG＝BG.∵T是FG的中点，∴FG＝2TG.∵AC∥DE，∴△BCP∽△BER，∴＝＝，∴RE＝2CP＝2b.同理：△BCP∽△BGT，∴＝＝，∴TG＝3CP＝3b，∴AC＝DE＝FG＝6b，∴AP＝5b，DR＝4b，FT＝3b.∵AB∥CD，∴△ABP∽△CQP，∴＝＝

7、.同理：＝＝，＝＝，＝＝.∴BP∶PQ∶QR∶RS∶ST＝5∶1∶4∶2∶3.故答案为5∶1∶4∶2∶3.方法点拨：根据已知条件，充分利用图形中平行的条件，连续用相似三角形的判定与性质，得出线段之间的比例关系，“遇平行，想相似；用相似，得比例”是相似形的常用思路之一．4．(1)证明：∵点E是AB的中点，GE⊥AB，∴GE是线段AB的垂直平分线，∴AG＝BG.同理可得GD＝GC.在△AGD与△BGC中，∴△AGD≌△BGC，∴AD＝BC；(2)证明：∵∠AGD＝∠BGC