2019-2020年高考数学大一轮复习第九章平面解析几何第7讲抛物线试题理新人教版

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1、2019-2020年高考数学大一轮复习第九章平面解析几何第7讲抛物线试题理新人教版一、选择题1.(xx·全国Ⅱ卷)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，曲线y＝(k>0)与C交于点P，PF⊥x轴，则k＝(　　)A.B.1C.D.2解析　由题可知抛物线的焦点坐标为(1，0)，由PF⊥x轴知，

2、PF

3、＝2，所以P点的坐标为(1，2).代入曲线y＝(k>0)得k＝2，故选D.答案　D2.点M(5，3)到抛物线y＝ax2(a≠0)的准线的距离为6，那么抛物线的方程是(　　)A.y＝12x2B.y＝12x2或y＝－36x2C.y＝－36x2D.y＝x2或y＝－x2解析　分两类a>0，

4、a<0可得y＝x2，y＝－x2.答案　D3.(xx·张掖诊断)过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则

5、PQ

6、＝(　　)A.9B.8C.7D.6解析　抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，

7、PQ

8、＝

9、PF

10、＋

11、QF

12、＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.故选B.答案　B4.已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点.若＝4，则

13、QF

14、等于(　　)A.B.C.3D.2解析　∵＝4，∴

15、

16、＝4

17、

18、，∴＝.如图，过Q作QQ′⊥l，垂

19、足为Q′，设l与x轴的交点为A，则

20、AF

21、＝4，∴＝＝，∴

22、QQ′

23、＝3，根据抛物线定义可知

24、QQ′

25、＝

26、QF

27、＝3，故选C.答案　C5.(xx·衡水金卷)已知抛物线y2＝4x，过点P(4，0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则y＋y的最小值为(　　)A.12B.24C.16D.32解析　当直线的斜率不存在时，其方程为x＝4，由得y1＝－4，y2＝4，∴y＋y＝32.当直线的斜率存在时，设其方程为y＝k(x－4)，由得ky2－4y－16k＝0，∴y1＋y2＝，y1y2＝－16，∴y＋y＝(y1＋y2)2－2y1y2＝＋32＞32，综上可知，y

28、＋y≥32.∴y＋y的最小值为32.故选D.答案　D二、填空题6.(xx·兰州诊断)抛物线y2＝－12x的准线与双曲线－＝1的两条渐近线所围成的三角形的面积等于________.解析　由图可知弦长

29、AB

30、＝2，三角形的高为3，∴面积为S＝×2×3＝3.答案　37.(xx·四川四校三联)过抛物线y2＝4x的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，则弦长

31、AB

32、为________.解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2).易得抛物线的焦点是F(1，0)，所以直线AB的方程是y＝x－1，联立消去y得x2－6x＋1＝0，所以x1＋x2＝6，所以

33、AB

34、＝x1＋x2＋

35、p＝6＋2＝8.答案　88.(xx·江西九校联考)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线y2－x2＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________.解析　y2＝2px的准线为x＝－.由于△ABF为等边三角形.因此不妨设A，B，又点A，B在双曲线y2－x2＝1上，从而－＝1，所以p＝2.答案　2三、解答题9.(xx·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x－y－2＝0，抛物线C：y2＝2px(p＞0).(1)若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.①求证：线段PQ

36、的中点坐标为(2－p，－p)；②求p的取值范围.(1)解　∵l：x－y－2＝0，∴l与x轴的交点坐标为(2，0).即抛物线的焦点为(2，0)，∴＝2，∴p＝4.∴抛物线C的方程为y2＝8x.(2)①证明　设点P(x1，y1)，Q(x2，y2).则则∴kPQ＝＝，又∵P，Q关于l对称.∴kPQ＝－1，即y1＋y2＝－2p，∴＝－p，又∵PQ的中点一定在l上，∴＝＋2＝2－p.∴线段PQ的中点坐标为(2－p，－p).②解　∵PQ的中点为(2－p，－p)，∴即∴即关于y的方程y2＋2py＋4p2－4p＝0，有两个不等实根.∴Δ＞0.即(2p)2－4(4p2－4p)＞0，解得0

37、＜p＜，故所求p的范围为.10.已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是过F的直线与抛物线的两个交点，求证：(1)y1y2＝－p2，x1x2＝；(2)＋为定值；(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.证明　(1)由已知得抛物线焦点坐标为(，0).由题意可设直线方程为x＝my＋，代入y2＝2px，得y2＝2p(my＋)，即y2－2pmy－p2＝0.(*)则y1，y2是方程(*)的两个实数根，所以y1y2＝－p2.因为y＝2px1，y＝2px2，所以yy＝4p2x1x2，所以x1x2＝＝＝.(2)＋＝