2018-2019学年高中数学 第四讲 数学归纳法证明不等式 一 数学归纳法讲义（含解析）新人教A版选修4-5

《2018-2019学年高中数学 第四讲 数学归纳法证明不等式 一 数学归纳法讲义（含解析）新人教A版选修4-5》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、一数学归纳法1．数学归纳法的概念先证明当n取第一个值n0(例如可取n0＝1)时命题成立，然后假设当n＝k(k∈N＋，k≥n0)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．这种证明方法叫做数学归纳法．2．数学归纳法适用范围数学归纳法的适用范围仅限于与正整数有关的数学命题的证明．3．数学归纳法证明与正整数有关的数学命题步骤(1)证明当n取第一个值n0(如取n0＝1或2等)时命题成立；(2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥n0)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．由此可以断定，对于任意不小于n0的正整数n，命题都成立．利用数学归纳法证明等式[例1]　用数学归纳法证明12－22＋32－42＋…＋(－1

2、)n－1·n2＝(－1)n－1.[思路点拨]　首先判断第1步是否满足，然后考虑由n＝k到n＝k＋1时增加了哪些项，进行分析变形，从而证明等式．[证明]　(1)当n＝1时，左边＝12＝1，右边＝(－1)0·＝1，所以等式成立．(2)假设n＝k(k∈N＋，k≥1)时，等式成立，即有12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1·k2＝(－1)k－1.那么，当n＝k＋1时，则有12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1·k2＋(－1)k(k＋1)2＝(－1)k－1＋(－1)k(k＋1)2＝(－1)k[－k＋2(k＋1)]＝(－1)k，所以n＝k＋1时，等式也成立．由(1)(2)得对任意n∈N＋，有12－

3、22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1·.利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点：一是要准确表述n＝n0时命题的形式，二是要准确把握由n＝k到n＝k＋1时，命题结构的变化特点．并且一定要记住：在证明n＝k＋1成立时，必须使用归纳假设．1．在用数学归纳法证明，对任意的正偶数n，均有1－＋－＋…＋－＝2成立时，(1)第一步检验的初始值n0是多少？(2)第二步归纳假设n＝2k时(k∈N＋)等式成立，需证明n为何值时，方具有递推性；(3)若第二步归纳假设n＝k(k为正偶数)时等式成立，需证明n为何值时，等式成立．解：(1)n0为2.此时左边为1－，右边为2×＝.(2)假设n＝2k

4、(k∈N＋)时，等式成立，就需证明n＝2k＋2(即下一个偶数)时，命题也成立．(3)若假设n＝k(k为正偶数)时，等式成立，就需证明n＝k＋2(即k的下一个正偶数)时，命题也成立．2．用数学归纳法证明：＋＋…＋＝(n∈N＋)．证明：(1)当n＝1时，左边＝＝，右边＝＝，左边＝右边，等式成立．(2)假设n＝k(k∈N＋，k≥1)时，等式成立．即＋＋…＋＝，当n＝k＋1时，左边＝＋＋…＋＋＝＋＝＝＝，∴当n＝k＋1时，等式也成立．由(1)(2)知对任意n∈N＋，等式成立．用数学归纳法证明整除问题[例2]　求证：an＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除(n∈N＋)．[证明]　(1)当n＝1时

5、，a2＋(a＋1)＝a2＋a＋1，可被a2＋a＋1整除．(2)假设n＝k(k∈N＋，k≥1)时，ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，则当n＝k＋1时，ak＋2＋(a＋1)2k＋1＝a·ak＋1＋(a＋1)2(a＋1)2k－1＝a·ak＋1＋a·(a＋1)2k－1＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1，由假设可知a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]能被a2＋a＋1整除，所以ak＋2＋(a＋1)2k＋1能被a2＋a＋1整除，即n＝k＋1时命题也成立．由(1)(2)可知命题对所有n∈N＋都成立．利用数学归纳法证明整除时

6、，关键是整理出除数因式与商数因式积的形式．这就往往要涉及到“添项”“减项”“因式分解”等变形技巧，凑出n＝k时的情形，从而利用归纳假设使问题得证．3．用数学归纳法证明：(3n＋1)7n－1(n∈N＋)能被9整除．证明：(1)当n＝1时，4×7－1＝27能被9整除命题成立．(2)假设n＝k时命题成立，即(3k＋1)·7k－1能被9整除，当n＝k＋1时，[(3k＋3)＋1]·7k＋1－1＝[3k＋1＋3]·7·7k－1＝7·(3k＋1)·7k－1＋21·7k＝[(3k＋1)·7k－1]＋18k·7k＋6·7k＋21·7k＝[(3k＋1)·7k－1]＋18k·7k＋27·7k，由归纳假设(3k＋1)

7、·7k－1能被9整除，又因为18k·7k＋27·7k也能被9整除，所以[3(k＋1)＋1]·7k＋1－1能被9整除，即n＝k＋1时命题成立．则由(1)(2)可知对所有正整数n命题成立．4．用数学归纳法证明：1－(3＋x)n(n∈N＋)能被x＋2整除．证明：(1)n＝1时，1－(3＋x)＝－(x＋2)，能被x＋2整除，命题成立．(2)假设n＝k(k≥1)时，1－(3＋x)n能被x＋2整除，则可设1－