2018高中数学 第2章 推理与证明 2.2.2 间接证明（1）学案 苏教版选修1 -2

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1、2.2.2　间接证明[学习目标]　1.了解反证法是间接证明的一种基本方法.2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题．[知识链接]1．有人说反证法就是通过证明逆否命题来证明原命题，这种说法对吗？为什么？答　这种说法是错误的，反证法是先否定命题，然后再证明命题的否定是错误的，从而肯定原命题正确，不是通过逆否命题证题．命题的否定与原命题是对立的，原命题正确，其命题的否定一定不对．2．反证法主要适用于什么情形？答　①要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；②如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨

2、论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形．[预习导引]1．间接证明不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法称为间接证明．2．反证法从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)．3．反证法步骤反证法的过程包括下面3个步骤：反设，归谬，存真．4．反证法常见的矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等．5．反证法中常用的“结论词”与“反设词”如下：结论词至少有一个至多有一个至少有n个至多有n个反设词一个

3、也没有(不存在)至少有两个至多有(n－1)个至少有(n＋1)个结论词只有一个对所有x成立对任意x不成立反设词没有或至少有两个存在某个x不成立存在某个x成立结论词都是一定是p或qp且q反设词不都是不一定是綈p且綈q綈p或綈q要点一　用反证法证明“至多”“至少”型命题例1　已知x，y>0，且x＋y>2.求证：，中至少有一个小于2.证明　假设，都不小于2，即≥2，≥2.∵x，y>0，∴1＋x≥2y,1＋y≥2x.∴2＋x＋y≥2(x＋y)，即x＋y≤2与已知x＋y>2矛盾．∴，中至少有一个小于2.规律方法　对于含有“至多”、“至少”

4、的命题适合用反证法，对于此类问题，需仔细体会“至少有一个”、“至多有一个”等字眼的含义，弄清结论的否定是什么，避免出现证明遗漏的错误．跟踪演练1　已知a，b，c，d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，求证：a，b，c，d中至少有一个是负数．证明　假设a，b，c，d都是非负数，∵a＋b＝c＋d＝1，∴(a＋b)(c＋d)＝1.又∵(a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd，∴ac＋bd≤1.这与已知ac＋bd>1矛盾，∴a，b，c，d中至少有一个是负数．要点二　用反证法证明不存在、惟一性命题例2　求证对于直

5、线l：y＝kx＋1，不存在这样的实数k，使得l与双曲线C：3x2－y2＝1的交点A、B关于直线y＝ax(a为常数)对称．证明　假设存在实数k，使得A、B关于直线y＝ax对称，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则有(1)直线l：y＝kx＋1与直线y＝ax垂直；(2)点A、B在直线l：y＝kx＋1上；(3)线段AB的中点在直线y＝ax上，所以由得(3－k2)x2－2kx－2＝0.④当k2＝3时，l与双曲线仅有一个交点，不合题意．由②、③得a(x1＋x2)＝k(x1＋x2)＋2，⑤由④知x1＋x2＝，代入⑤整理得：ak＝3，这与

6、①矛盾．所以假设不成立，故不存在实数k，使得A、B关于直线y＝ax对称．规律方法　证明“惟一性”问题的方法：“惟一性”包含“有一个”和“除了这个没有另外一个”两层意思．证明后一层意思时，采用直接证法往往会相当困难，因此一般情况下都采用间接证法，即用反证法(假设“有另外一个”，推出矛盾)或同一法(假设“有另外一个”，推出它就是“已知那一个”)证明，而用反证法有时比用同一法更方便．跟踪演练2　求证：过一点只有一条直线与已知平面垂直．已知：平面α和一点P.求证：过点P与α垂直的直线只有一条．证明　如图所示，不论点P在α内还是在α外，

7、设PA⊥α，垂足为A(或P)．假设过点P不止有一条直线与α垂直，如还有另一条直线PB⊥α，设PA，PB确定的平面为β，且α∩β＝a，于是在平面β内过点P有两条直线PA，PB垂直于a，这与过一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾，∴假设不成立，原命题成立．要点三　用反证法证明否定性命题例3　已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋，S3＝9＋3.(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn；(2)设bn＝(n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．(1)解　设公差为d，由已知得∴d＝2，故an

8、＝2n－1＋，Sn＝n(n＋)．(2)证明　由(1)得bn＝＝n＋.假设数列{bn}中存在三项bp、bq、br(p、q、r互不相等)成等比数列，则b＝bpbr，即(q＋)2＝(p＋)(r＋)，∴(q2－pr)＋(2q－p－r)＝0.∵p，q，r∈N*，∴　∴2＝pr，(p－r