2019年高考数学大二轮复习 专题六 解析几何 第3讲 圆锥曲线的综合应用练习 理

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1、第二篇专题六第3讲圆锥曲线的综合应用[限时训练·素能提升](限时50分钟，满分48分)解答题(本题共4小题，每小题12分，共48分)1．(2018·浙江)如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2＝4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．(1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；(2)若P是半椭圆x2＋＝1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围．解析　(1)设P(x0，y0)，A，B.因为PA，PB的中点在抛物线上，所以y1，y2为方程＝4·.即y2－2y0y＋8x0－y＝0的两个不同的实根．所以y1

2、＋y2＝2y0.因此，PM垂直于y轴．(2)由(1)可知所以

3、PM

4、＝(y＋y)－x0＝y－3x0，

5、y1－y2

6、＝2.因此，△PAB的面积S△PAB＝

7、PM

8、·

9、y1－y2

10、＝(y－4x0).因为x＋＝1(x0<0)，所以y－4x0＝－4x－4x0＋4∈[4，5]，因此，△PAB面积的取值范围是.2．(2018·全国卷Ⅲ)已知斜率为k的直线l与椭圆C：＋＝1交于A，B两点，线段AB的中点为M(1，m)(m>0)．(1)证明：k<－；(2)设F为C的右焦点，P为C上一点，且＋＋＝0.证明：

11、

12、，

13、

14、，

15、

16、成等差数列，并求该数列的公差．解析

17、　(1)证明　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝1，＋＝1.两式相减，并由＝k得＋·k＝0.由题设知＝1，＝m，于是k＝－.①由题设得0

18、

19、＝.于是

20、

21、＝＝＝2－.同理

22、

23、＝2－.所以

24、

25、＋

26、

27、＝4－(x1＋x2)＝3.故2

28、

29、＝

30、

31、＋

32、

33、，即

34、

35、，

36、

37、，

38、

39、成等差数列．设该数列

40、的公差为d，则2

41、d

42、＝

43、

44、

45、－

46、

47、

48、＝

49、x1－x2

50、＝.②将m＝代入①得k＝－1.所以l的方程为y＝－x＋，代入C的方程，并整理得7x2－14x＋＝0.故x1＋x2＝2，x1x2＝，代入②解得

51、d

52、＝.所以该数列的公差为或－.3．(2018·北京)已知抛物线C：y2＝2px经过点P(1，2)．过点Q(0，1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N.(1)求直线l的斜率的取值范围；(2)设O为原点，＝λ，＝μ，求证：＋为定值．解析　(1)因为抛物线y2＝2px过点(1，2)，所以2p＝4，即p＝

53、2.故抛物线C的方程为y2＝4x.由题意知，直线l的斜率存在且不为0.设直线l的方程为y＝kx＋1(k≠0)．由得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.依题意Δ＝(2k－4)2－4×k2×1>0，解得k<0或0

54、由＝λ，＝μ得λ＝1－yM，μ＝1－yN.所以＋＝＋＝＋＝·＝·＝2.所以＋为定值．4．(2018·佛山模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，直线4x＋3y－5＝0与以坐标原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆相切．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若A为椭圆C的下顶点，M，N为椭圆C上异于A的两点，直线AM与AN的斜率之积为1.①求证：直线MN恒过定点，并求出该定点的坐标；②若O为坐标原点，求·的取值范围．解析　(1)由题意可得离心率e＝＝，又直线4x＋3y－5＝0与圆x2＋y2＝b2相切，所以b＝＝1，结合a2－b2＝c2，解

55、得a＝，所以椭圆C的标准方程为＋x2＝1.(2)①设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由题意知A(0，－)，又直线AM与AN的斜率之积为1，所以·＝1，即有x1x2＝y1y2＋(y1＋y2)＋3，由题意可知直线MN的斜率存在且不为0，设直线MN：y＝kx＋t(k≠0)，代入椭圆方程，消去y可得(3＋k2)x2＋2ktx＋t2－3＝0，所以x1x2＝，x1＋x2＝－，y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2t＝2t－＝，y1y2＝k2x1x2＋kt(x1＋x2)＋t2＝k2·＋kt＋t2＝，所以＝＋＋3，化简得t2＋3t＋6＝0，解得t＝－2(－

56、舍去)，则直线MN的方程为y＝kx－2，即直线MN恒过定点，该定点的坐标为(0，－2)．②由①可得·＝x1x2＋y1y2＝＋＝＝，由(3＋k2)x2＋2ktx＋t2－3＝0，可得Δ＝4k2t2