2019高考数学 考点突破——平面向量:平面向量的概念及线性运算学案

2019高考数学 考点突破——平面向量:平面向量的概念及线性运算学案

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1、平面向量的概念及线性运算【考点梳理】1.向量的有关概念(1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量,向量的大小叫做向量的长度(或模).(2)零向量:长度为0的向量,其方向是任意的.(3)单位向量:长度等于1个单位的向量.(4)平行向量:方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共线向量.规定:0与任一向量平行.(5)相等向量:长度相等且方向相同的向量.(6)相反向量:长度相等且方向相反的向量.2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律:a+b=b+a;(2)结合律:(a+b)+c=a+(b+c)减法求a与b的相反向

2、量-b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a-b=a+(-b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)

3、λa

4、=

5、λ

6、

7、a

8、;(2)当λ>0时,λa的方向与a的方向相同;当λ<0时,λa的方向与a的方向相反;当λλ(μa)=λμa;(λ+μ)a=λa+μa;λ(a+b)=λa+λb=0时,λa=03.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ,使得b=λa.【考点突破】考点一、平面向量的有关概念【例1】给出下列四个命题:①若

9、a

10、=

11、b

12、,则a=b;②若A,B,C,D是不共线的四点,则“=”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件;③若a=b,b=c,则a

13、=c;④a=b的充要条件是

14、a

15、=

16、b

17、且a∥b.其中正确命题的序号是(  )A.②③B.①②C.③④D.②④[答案]A[解析]①不正确.两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相同.②正确.∵=,∴

18、

19、=

20、

21、且∥,又A,B,C,D是不共线的四点,∴四边形ABCD为平行四边形;反之,若四边形ABCD为平行四边形,则

22、

23、=

24、

25、,∥且,方向相同,因此=.③正确.∵a=b,∴a,b的长度相等且方向相同,又b=c,∴b,c的长度相等且方向相同,∴a,c的长度相等且方向相同,故a=c.④不正确.当a∥b且方向相反时,即使

26、a

27、=

28、b

29、,也不能得到a=b,故

30、a

31、=

32、b

33、且a∥b不是a=b

34、的充要条件,而是必要不充分条件.综上所述,正确命题的序号是②③.【类题通法】1.相等向量具有传递性,非零向量的平行也具有传递性.2.共线向量即为平行向量,它们均与起点无关.3.向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量.解题时,不要把它与函数图象的移动混为一谈.4.非零向量a与的关系:是与a同方向的单位向量.【对点训练】给出下列六个命题:①若

35、a

36、=

37、b

38、,则a=b或a=-b;②若=,则ABCD为平行四边形;③若a与b同向,且

39、a

40、>

41、b

42、,则a>b;④λ,μ为实数,若λa=μb,则a与b共线;⑤λa=0(λ为实数),则λ必为零;⑥a,b为非零向量,a=b的充要条件是

43、a

44、

45、=

46、b

47、且a∥b.其中假命题的序号为________.[答案]①②③④⑤⑥[解析]①不正确.

48、a

49、=

50、b

51、.但a,b的方向不确定,故a,b不一定是相等或相反向量;②不正确.因为=,A,B,C,D可能在同一直线上,所以ABCD不一定是四边形.③不正确.两向量不能比较大小.④不正确.当λ=μ=0时,a与b可以为任意向量,满足λa=μb,但a与b不一定共线.⑤不正确.当λ=1,a=0时,λa=0.⑥不正确.对于非零向量a,b,a=b的充要条件是

52、a

53、=

54、b

55、且a,b同向.考点二、平面向量的线性运算【例2】(1)设D为△ABC所在平面内一点,=-+,若=λ(λ∈R),则λ=(  )A

56、.2B.3C.-2D.-3(2)在△ABC中,点M,N满足=2,=.若=x+y,则x=________;y=________.[答案](1)D (2) -[解析](1)由=-+,可得3=-+4,即4-4=-,则4=,即=-4,可得+=-3,故=-3,则λ=-3.(2)由题中条件得,=+=+=+(-)=-=x+y,所以x=,y=-.【类题通法】1.解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量,并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.2.用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧:(1)观察各向量的位置;(2)寻找相应的三角形或多边形;(3)运用法则找关系;(4)化简结果.【对点训练】1

57、.已知D为三角形ABC边BC的中点,点P满足++=0,=λ,则实数λ的值为________.[答案]-2[解析]因为D是BC的中点,则+=2.由++=0,得=.又=λ,所以点P是以AB,AC为邻边的平行四边形的第四个顶点,因此=+=2=-2,所以λ=-2.2.设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=AB,BE=BC.若=λ1+λ2(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为________.[答案][解析]=+=+=+(-)=-+,∵=λ1+λ2,∴λ1=-,λ2=,因此λ1+λ2=.考点三、共线

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