2020版高考数学一轮复习 第4章 平面向量 第1讲 平面向量的概念及线性运算讲义 理(含解析)

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1、第四章 平面向量第1讲 平面向量的概念及线性运算[考纲解读] 1.了解向量的实际背景,理解平面向量的概念和两个向量相等的含义,理解向量的几何表示.2.掌握向量加法、减法的运算,理解其几何意义.(重点)3.掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义,了解向量线性运算的性质及其几何意义.(难点)[考向预测] 从近三年高考情况来看,本讲一般不直接考查.预测2020年高考中,平面向量的线性运算是考查的热点,常以客观题的形式呈现,属中、低档试题.1.向量的有关概念2.向量的线性运算3.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线,当且仅当有唯一的一个实数λ,使得b=λa.1.概念辨析(

2、1)在△ABC中,D是BC的中点,E是AD的中点,则=(+).(  )(2)若a∥b,b∥c,则a∥c.(  )(3)向量与向量是共线向量,则A,B,C,D四点在一条直线上.(  )(4)当两个非零向量a,b共线时,一定有b=λa,反之成立.(  )答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√2.小题热身(1)下列命题正确的是(  )A.若

3、a

4、=

5、b

6、,则a=bB.若

7、a

8、>

9、b

10、,则a>bC.若a=b,则a∥bD.若

11、a

12、=0,则a=0答案 C解析 A错误,模相等,方向相同的向量才是相等向量;B错误,向量不能比较大小;C正确,若a=b,则a与b方向相同,故a∥b;D错误,若

13、

14、a

15、=0,则a=0.(2)如图,设P,Q两点把线段AB三等分,则下列向量表达式错误的是(  )A.=B.=C.=-D.=答案 D解析 由题意得,=-,故D错误.(3)设a,b是不共线的两个向量,已知=a+2b,=4a-4b,=-a+2b,则(  )A.A,B,D三点共线B.A,C,D三点共线C.A,B,C三点共线D.B,C,D三点共线答案 B解析 因为=a+2b,所以=-a-2b,所以=+=(-a-2b)+(4a-4b)=3a-6b=-3(-a+2b)=-3.所以∥,所以A,C,D三点共线.(4)已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O,且=a,=b,则=________,=_

16、_______(用a,b表示).答案 b-a -a-b解析 因为四边形ABCD是平行四边形,所以=,=-=-a,所以==-=b-a,=-=-a-b.题型 平面向量的基本概念1.设a0为单位向量,下列命题中:①若a为平面内的某个向量,则a=

17、a

18、·a0;②若a与a0平行,则a=

19、a

20、a0;③若a与a0平行且

21、a

22、=1,则a=a0,假命题的个数是(  )A.0B.1C.2D.3答案 D解析 向量是既有大小又有方向的量,a与

23、a

24、a0的模相同,但方向不一定相同,故①是假命题;若a与a0平行,则a与a0的方向有两种情况:一是同向,二是反向,反向时a=-

25、a

26、a0,故②③也是假命题.综上所

27、述,假命题的个数是3.2.下列叙述错误的是________(填序号).①若非零向量a与b方向相同或相反,则a+b与a,b之一的方向相同;②

28、a

29、+

30、b

31、=

32、a+b

33、⇔a与b方向相同;③向量b与向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ,使得b=λa;④+=0;⑤若λa=λb,则a=b.答案 ①②③④⑤解析 对于①,当a+b=0时,其方向任意,它与a,b的方向都不相同.对于②,当a,b之一为零向量时结论不成立.对于③,当a=0且b=0时,λ有无数个值;当a=0但b≠0时,λ不存在.对于④,由于两个向量之和仍是一个向量,所以+=0.对于⑤,当λ=0时,无论a与b的大小与方向如何,都有λ

34、a=λb,此时不一定有a=b.故①②③④⑤均错误.有关平面向量概念的六个注意点(1)相等向量具有传递性,非零向量的平行也具有传递性.(2)共线向量即为平行向量,它们均与起点无关.(3)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量.解题时,不要把它与函数图象的移动混淆.(4)非零向量a与的关系:是与a同方向的单位向量,-是与a反方向的单位向量.(5)两个向量不能比较大小,只可以判断它们是否相等,但它们的模可以比较大小.(6)表示两平行向量的有向线段所在的直线平行或重合,易忽视重合这一条件.                   1.给出下列说法:①若A,B,C,D是不共线的四个点,则

35、=是四边形ABCD为平行四边形的充要条件;②若a,b都是单位向量,则a=b;③向量与相等;④若a=b,b=c,则a=c.其中正确说法的序号是(  )A.①④B.③④C.②③D.①②答案 A解析 ①④正确;②错误,因为a,b的方向不一定相同;③错误,=-.2.给出下列命题:①两个具有公共终点的向量,一定是共线向量;②两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小;③若λa=0(λ为实数),则λ必为零;④已知λ,μ为实数,若λa=μb,则a与b共线.其中正确命题的序号为________.

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