2020版高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 第3讲 函数的奇偶性与周期性讲义 理（含解析）

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1、第3讲　函数的奇偶性与周期性[考纲解读]　1.了解函数奇偶性的含义．2.会运用基本初等函数的图象分析函数的奇偶性．(重点)3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．(重点)[考向预测]　从近三年高考情况来看，函数的奇偶性与周期性是高考的一个热点．预测2020年高考会侧重以下三点：①函数奇偶性的判断及应用；②函数周期性的判断及应用；③综合利用函数奇偶性、周期性和单调性求参数的值或解不等式.1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数关于y

2、轴对称奇函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称2．周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．1．概念辨析(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．(　　)(2)函数f(x)在定义域上满足f(

3、x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a>0)的周期函数．(　　)(3)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．(　　)(4)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．(　　)答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)√　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2．小题热身(1)下列函数中为奇函数的是(　　)A．y＝x2sinxB．y＝x2cosxC．y＝

4、lnx

5、D．y＝2－x答案　A解析　A是奇函数，B是偶函数，C，D是非奇非偶函数．(2)奇函数y＝f(x)的局部图象如图所示，则(　　)A．f(2)>0>f(4)B．f(2

6、)<0f(4)>0D．f(2)0>f(－2)，所以－f(4)>0>－f(2)，即f(2)>0>f(4)．(3)若函数f(x)＝ax2＋bx＋1是定义在[－1－a,2a]上的偶函数，则该函数的最大值为________．答案　5解析　由函数f(x)＝ax2＋bx＋1是定义在[－1－a,2a]上的偶函数，可得b＝0，且－1－a＋2a＝0，解得a＝1，所以函数f(x)＝x2＋1，x∈[－2,2]，故该函数的最大值为5.(4)已

7、知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3,0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________.答案　6解析　因为f(x＋4)＝f(x－2)，所以函数f(x)是周期为6的周期函数，所以f(919)＝f(6×153＋1)＝f(1)，又因为当x∈[－3,0]时，f(x)＝6－x，且f(x)是偶函数，所以f(919)＝f(1)＝f(－1)＝6.题型　函数的奇偶性角度1　判断函数的奇偶性1．判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝＋；(2)f(x)＝(1－x)；(3)f(x)＝；(4)f(x)＝解　(1)由得x2＝3，解得x＝±

8、，即函数f(x)的定义域为{－，}，∴f(x)＝＋＝0.∴f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数．(2)由≥0得－1≤x<1，所以f(x)的定义域为[－1,1)，所以函数f(x)是非奇非偶函数．(3)由得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称．∴x－2<0，∴

9、x－2

10、－2＝－x，∴f(x)＝.又∵f(－x)＝＝＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数．(4)显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．∵当x<0时，－x>0，则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；当x>0时

11、，－x<0，则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；综上可知，对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数．角度2　奇函数、偶函数性质的应用2．(1)已知函数f(x)是偶函数，且当x>0时，f(x)＝x3＋x＋1，则当x<0时，f(x)的解析式为________；(2)已知f(x)＝，若f(ln(＋a))＝1，则f(ln(－a))＝________；(3)(2018·河南南阳模拟)若函数f(x)＝x为偶函数，则a＝________.答案　(1)－x3－x＋1　(2)－3　(3)1或－1解析　(1)当x<0时，－x>0.因

12、为f(x)是偶函数，且当x>0时，f(