（江苏专用）2019高考数学二轮复习 专题七 第3讲（必） 计数原理及二项式定理、数学归纳法学案 理

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1、第3讲计数原理及二项式定理、数学归纳法高考定位　高考对本内容的考查主要有：(1)分类加法计数原理、分步乘法计数原理，B级要求；(2)排列与组合，B级要求；(3)二项式定理，B级要求；(4)数学归纳法的简单应用，B级要求.真题感悟1.(2018·江苏卷)设n∈N*，对1，2，…，n的一个排列i1i2…in，如果当sit，则称(is，it)是排列i1i2…in的一个逆序，排列i1i2…in的所有逆序的总个数称为其逆序数.例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序(2，1)，(3，1)，则排列231的逆序数为2.记fn(k)为1，2，…，n的所有排列中逆序数为k的全部排列的个数

2、.(1)求f3(2)，f4(2)的值；(2)求fn(2)(n≥5)的表达式(用n表示).解　(1)记τ(abc)为排列abc的逆序数，对1，2，3的所有排列，有τ(123)＝0，τ(132)＝1，τ(213)＝1，τ(231)＝2，τ(312)＝2，τ(321)＝3，所以f3(0)＝1，f3(1)＝f3(2)＝2.对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置.因此，f4(2)＝f3(2)＋f3(1)＋f3(0)＝5.(2)对一般的n(n≥4)的情形，逆序数为0的排列只有一个：12…n，所以fn(0)＝1.逆序数为1的排列只能是将排列

3、12…n中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以fn(1)＝n－1.为计算fn＋1(2)，当1，2，…，n的排列及其逆序数确定后，将n＋1添加进原排列，n＋1在新排列中的位置只能是最后三个位置.因此，fn＋1(2)＝fn(2)＋fn(1)＋fn(0)＝fn(2)＋n.当n≥5时，fn(2)＝[fn(2)－fn－1(2)]＋[fn－1(2)－fn－2(2)]＋…＋[f5(2)－f4(2)]＋f4(2)＝(n－1)＋(n－2)＋…＋4＋f4(2)＝.因此，当n≥5时，fn(2)＝.2.(2016·江苏卷)(1)求7C－4C的值；(2)设m，n∈N*，n≥m，求证：(m＋1)C＋(m＋2)C＋(

4、m＋3)C＋…＋nC＋(n＋1)C＝(m＋1)C.(1)解　7C－4C＝7×20－4×35＝0.(2)证明　对任意的m，n∈N*，n≥m，①当n＝m时，左边＝(m＋1)C＝m＋1，右边＝(m＋1)C＝m＋1，原等式成立.②假设n＝k(k≥m)时命题成立.即(m＋1)C＋(m＋2)C＋(m＋3)C＋…＋kC＋(k＋1)C＝(m＋1)C，当n＝k＋1时，左边＝(m＋1)C＋(m＋2)C＋(m＋3)C＋…＋kC＋(k＋1)C＋(k＋2)C＝(m＋1)C＋(k＋2)C，右边＝(m＋1)C.而(m＋1)C－(m＋1)C＝(m＋1)＝(m＋1)×[(k＋3)－(k－m＋1)]＝(k＋2)＝(k＋2)C，∴

5、(m＋1)C＋(k＋2)C＝(m＋1)C，∴左边＝右边.即m＝k＋1时命题也成立.综合①②可得原命题对任意m，n∈N*，n≥m均成立.考点整合1.两种计数原理分类加法计数原理和分步乘法计数原理.2.排列与组合(1)排列的定义：排列数公式：A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝(m≤n，m，n∈N*).(2)组合的定义：组合数公式：C＝＝(m≤n，m，n∈N*)；组合数性质：C＝C；C＋C＝C.3.(1)二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Cabn－1＋Cbn，其中C，C，…，C称为二项式系数；(2)C＋C＋…＋C＝2n；(3)通项：Tr＋1＝Can－rbr，r≤n，n，r

6、∈N*.4.数学归纳法运用数学归纳法证明命题要分两步，第一步是归纳奠基(或递推基础)，证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立，第二步是归纳递推(或归纳假设)，假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立，只要完成这两步，就可以断定命题对从n0开始的所有的正整数都成立，两步缺一不可.热点一　与计数原理有关的问题【例1】(2011·江苏卷)设整数n≥4，P(a，b)是平面直角坐标系xOy中的点，其中a，b∈{1，2，3，…，n}，a＞b.(1)记An为满足a－b＝3的点P的个数，求An；(2)记Bn为满足(a－b)是整数的点P的个数，求Bn.解　(1)点P的坐标

7、满足条件1≤b＝a－3≤n－3，所以An＝n－3.(2)设k为正整数，记fn(k)为满足条件以及a－b＝3k的点P的个数，只要讨论fn(k)≥1的情形.由1≤b＝a－3k≤n－3k知fn(k)＝n－3k，且k≤，设n－1＝3m＋r，其中m∈N*，r∈{0，1，2}，则k≤m，所以Bn＝fn(k)＝(n－3k)＝mn－＝，将m＝代入上式，化简得Bn＝－，所以Bn＝探究提高　此计数原理问题中要计算点的