2019_2020学年高中数学第2章平面解析几何初步2.2.1直线方程的概念与直线的斜率学案新人教B版必修2

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1、2.2.1　直线方程的概念与直线的斜率学习目标核心素养1.理解直线的倾斜角和斜率的概念．(重点)2．理解直线斜率的几何意义；掌握倾斜角与斜率的对应关系．(重点)3．掌握过两点的直线的斜率公式．(重点)4．直线倾斜角与斜率的对应关系在解题中的应用．(难点)1.通过直线的倾斜角与斜率的概念学习，培养数学抽象的核心素养．2．借助倾斜角与斜率的关系，提升数学运算的核心素养.1．直线方程的概念如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上，且这条直线上点的坐标都是这个方程的解，那么这个方程叫做这条直线的方程，这条直线叫做

2、这个方程的直线．思考1：如何判断点P(2,1)是否在直线y＝x－1上？[提示]　把点的坐标代入方程，若满足方程，点就在直线上，反之，不在直线上．2．直线的斜率及斜率公式(1)斜率的定义一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．常用小写字母k表示，即k＝tanα.(2)斜率公式经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝.当x1＝x2时，直线P1P2没有斜率．(3)斜率的几何意义用实数反映了平面直角坐标系内的直线相对于x轴正方向的倾斜程度．3．直线的倾斜角(1)倾斜角

3、的定义①当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．②当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.(2)倾斜角的范围直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.(3)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点及它的倾斜角．思考2：直线的斜率与倾斜角是一一对应吗？[提示]　不是，当倾斜角为90°时，直线的斜率不存在．1．如图所示，直线l的倾斜角为(　　)A．30°　B．60°C．120°D．以上都不对C　[根据倾斜角的定义知，直

4、线l的倾斜角为30°＋90°＝120°.]2．直线l过点M(－，)，N(－，)，则l的斜率为(　　)A．B．1C．　　D．B　[根据题意，l的斜率为＝1.]3．斜率不存在的直线一定是(　　)A．过原点的直线B．垂直于x轴的直线C．垂直于y轴的直线D．垂直于坐标轴的直线B　[只有直线垂直于x轴时，其倾斜角为90°，斜率不存在．]4．已知三点A(a,2)，B(3,7)，C(－2，－9a)在同一条直线上，实数a的值为________．2或　[∵A、B、C三点共线，∴kAB＝kBC，即＝，∴a＝2或.]直线的倾斜角

5、【例1】　设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为(　　)A．α＋45°B．α－135°C．135°－αD．当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾角为α－135°D　[根据题意，画出图形，如图所示：因为0°≤α<180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图(如图所示)可知：当0°≤α<135°，l1的倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝

6、α－135°.故选D.]求直线的倾斜角的方法及两点注意1．方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角．2．两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°.②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°.1．一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为(　　)A．αB．180°－αC．180°－α或90°－αD．90°＋α或90°－αD　[如图，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当l向上方向的部分

7、在y轴右侧时，倾斜角为90°－α.故选D.]直线的斜率【例2】　已知坐标平面内三点A(－1,1)，B(1,1)，C(2，＋1)．(1)求直线AB、BC、AC的斜率和倾斜角；(2)若D为△ABC的边AB上一动点，求直线CD斜率k的变化范围．[思路探究]　(1)利用k＝及k＝tanα求解；(2)先求出AC、BC的斜率，进而求出k的范围．[解]　(1)由斜率公式得kAB＝＝0，kBC＝＝.kAC＝＝.倾斜角的取值范围是0°≤α<180°.又∵tan0°＝0，∴AB的倾斜角为0°.tan60°＝，∴BC的倾斜角为6

8、0°.tan30°＝，∴AC的倾斜角为30°.(2)如图，当斜率k变化时，直线CD绕C点旋转，当直线CD由CA逆时针方向旋转到CB时，直线CD与AB恒有交点，即D在线段AB上，此时k由kCA增大到kCB，所以k的取值范围为.1．由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用公式k＝tanα(α≠90°)解决．2．由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k＝(x1≠x2)求解．3．涉及直线与线段有交点问题常通过数形结合利用斜率公式