应用泛函习题1

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1、应用泛函习题集P31问181.3.1设X“X2,・・・.X”是赋范空间.证明下面给出了XiX・・・XX“上的等价范数:“,■■II5,小…,"II1=£II工II,6X,»''"i-1Ila4,・・・,竝)II?=(若IIIIj,町wxtiII(釘»x2»—tXH)IIco=maxIIXi

2、

3、>xtCX,・解答设y表示(厂m,…•,疋XiX血X・・・XX“且qWXt.我们冇(Sit孟II心£1也mi'•-!/、、7=7證也心(愆g»)2-所以八:••・-r•云上冏SIIX»II)WgIIII“V(£IIJTiII)9卡IIyIIIWIIy

4、IItCII>IIi•IIyII*WII>IIi

5、

6、・

7、

8、?是等价的.-’"I•i由于对某个j有max

9、

10、Xi

11、

12、=

13、

14、it

15、

16、■所以有-r.S■■-『・QT:□楸VII刃IIW可II工,IISH刃H•即IIyII・WIIyII!w刃IIy

17、

18、…这就证明了II•lh和II•II’是等价的.■MB1.3.17设Y是赋庖空间X的育限维真子空阎•证明在X中存在列便得也II-1且HCri,Y)=l・即Riesz引理在r=l时成立.解答设;r€X且工GY.令d=«

19、ur—yIIty€Y>・设

20、r«

21、才

22、

23、+d+l・S={yWYiII,II

24、才一以IIVd+1•则II>iIIClb—工II+IIxIIV

25、

26、=r.所以m€S,因此/(y9)<)=II>i—j-IIVN+】・(5)设yWY•甘yGS.INII工

27、

28、+

29、)W0(y)=JIy—工II・!Ui:少所以对所有y€Y有II,。一工II=0(y>)wIIy—工II•因此”■--•…11-=、u忙力II工—,。II=inf{

30、

31、x—yII:y€Y>=d・41床'皿若J=0.则丁=刃€丫.这是不成立的•所以必有d>0・令则

32、

33、釘

34、

35、=1•且对所有yCY,因为z=y0+c/y^Yt所以有IIQ—yII=II寺(工一刃II>1-又因为II刃一0II=1及06Y,所以上式说明d(©,Y)=l・这就完成了证明.Afl1.3.19设x=2wc[o.i]:Ho)=o}.y=.r€X:Jj(r)dr=o

36、.证明Y是

37、X的真闭子空间•且Ax中没有厂使得11=

38、

39、=i・d(_n・y)二i・即在这种情形下・广=1时的Ri“z引理不成立.解答设/(x>■[x(r)d/t工WX・则/是X上的线性泛噸•且I/(x)£

40、工⑺Id/<

41、

42、x

43、.・所以/是连续的flII/IIWU•因此Y=

44、

45、=1•下面将证明d(x^yxi.因为町(0)=0,所以由4的连续性•则存在6>0使得IKy.oC/<因为X上的柜数圧上确界范散I

46、I・I•所以对所有(有1厂⑺IVII4II・=1•因此I/(X1)1<£IX!(r)Idf=£IX!(/)Idr+J:

47、X.G)

48、d/<*6+l—&因而

49、/(G)

50、V1・下rti甘先在X中找小使得/(^)=

51、/(xt)

52、且BX:II^Cl.C-I/(Ji)I,则r

53、

54、_・2rVl•下BHft*WcVl•着尸■Zd-C/d+C.・0VY】•令•(

55、们有•f(JTi)—[工川门占NJoCJfck+J";Sf=C.对0W/W1有

56、x2(z)

57、<(c-bl)/2,因此IIxtIl.«c4-1)/2<1.由找到的x,•令必=4一怡孔.其中A=/(xI)/c.则yWX且/(yi)■/(X

58、>—A/(x>)=/(j

59、〉一&=»0.所以mWY且*

60、)=II4—MII8=II虹2II8・與为

61、*

62、-=

63、/(xl>

64、/c=l.所以有IIX,

65、

66、«,V1・这就完成了i£明.泛函分析内容、方法与技巧P33例5设IV/>

67、关系都是严格的.8证首先,设iWpVgVx,对于工={工.}€卩,有W-1+8・因此JimH・=O,从而xec(这里C是严的子集■是收敛数列爲f8全体).又存在《€N,使得当n>k时,有IxJ

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