高中数学恒成立问题中含参范围的求解策略

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1、恒成立问题中含参范围的求解策略数学中含参数的恒成立问题，几乎覆盖了函数，不等式、三角，数列、几何等高中数学的所有知识点，涉及到一些重要的数学思想方法，归纳总结这类问题的求解策略，不但可以让学生形成良好的数学思想，而且对提高学生分析问题和解决问题的能力是很有帮助的，下面就几种常见的求解策略总结如下，供大家参考。一、今需家就<值化1在给出的不等式屮，如果能通过恒等变形分离出参数，即：ahf(x)恒成立,只须求出恥，则a>fCs)ma:«;若a0,试确

2、定a•>•的取值范围.解:根据题意得,x+?-2>l在xG[2,+8)上恒成立，即a>-x2+3x在xE[2,+8)上恒:C成立•设f(0=・x：+3x则f(力=一('-勻'+三，当x=2时,所以a>22在给出的不等式屮，如果通过恒等变形不能直接解出参数，则可将两变量分别置于不等式的两边,即:若f(a)>g(x)恒成立，只须求岀g(x)最大值，则f(a)汕⑸g•然后解不等式求出参数a的取值范围;:若f(a)

3、(a-a2)4x>0恒成立，求a的取值范围.解令2—t//疋08,1］.•.览(0,2］.所以原不等式可化为"TV宁，要使上式在坨(0,2］上恒成立，只须求出f(t)=手在te(o,2］上的最小值即可.••f(t)=F=3+mT又tG(0,2]・m^=f(2)W13—b>c.FL丄+丄n旦恒成立，求实数ni的取值范围。a-bb-ca-c解析：由于a〉c,所以a-c>0,于是mS(a-c)(a—c)七+占(a-bb-c丿2」口口=4.va-bb-c=[(a-b)+(b-c)](111Ia—bb-c(11)F(a-bb-c丿厂b-ca_b、1(a-b

4、b-c丿恒成立,因>2+(当且仅当b-c=a-b时取等号)，故m<4o二、褻形秸金直观化对于某些不容易分离出参数的恒成立问题，可利用函数的图像或相应图形，采用数形结合的思想，直观地反应出参数的变化范围。例4设f(x)=(x-2k)2(xwlk，lk表示区间(2k-1,2k+1]),对于任意正整数k,直线y=ax与f(x)恒有两个不同的交点，求实数a的取值范围。解析：作lBf(x)=(x-2k)2在区间(2k-l,2k+l]上的图像，rfl图像知，直线y=ax只1-01能绕原点O从x正半轴旋转到过点A(2k+1」)的范围，直线AO的斜率为2k+l-02k+1于是实数a的

5、取值范用是0l,并且必须也只需当x=2时y2的函数值大于等于yi的函数值。故loga2>l,a>l,.l

6、系，列出关于参数的不等式。例6、若不筹式3x2-log(/x<0在xw0,寸内恒成立，求实数Q的取值范围。(1、一解：山题意知：3x21函数y=log“x的图象显然在函数y=3兀$图彖的下方，所以不成立；当0VGvl时，由图可知，y=log“x的(11图象必须过点一,一或在这个点的上133丿方，贝山io艮右三、变史仝免——简单祀对含多个变量问题，有吋变换主元与次元的位置，常能达到避繁就简的目的。例7对于满足妙<2的所有实数p,求

7、使不等式成立的x的取值范围.分析:在不等式岀现了两个字母X及P，关键在于把哪个字母看成一个变量•另一个作为常数•显然可将P视作自变量，则上述问题可转化为在卜2,2］内关于P的一次函数大于0恒成立问题.解:原屛、等式可化为(x-l)p+:c-2x+l>0•设f(p)=(x—1)叶耳亠-2x+l,则f(p)在［-2,2］上恒大于0,故有什&習；解得x~+ax例8对于awfrx*+ax不等式x?+ax>2x+a-1即(x-1)2>-a(x一1)对于ag［-1,1］恒成立