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《（浙江专用）2020版高考数学大一轮复习 高考解答题专项练5 解析几何》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、高考解答题专项练——解析几何1.如图,已知抛物线的方程为x2=2py(p>0),过点A(0,-1)作直线l与抛物线相交于P,Q两点,点B的坐标为(0,1),连接BP,BQ,设直线QB,BP与x轴分别相交于M,N两点.(1)如果p=2,且三角形BPQ的面积为4,求直线l的方程;(2)如果QB的斜率与PB的斜率的乘积为-3,求MN的长度.解(1)直线l的斜率必定存在,设为k,则l的方程为y=kx-1,因为p=2,把y=kx-1代入x2=4y得x2-4kx+4=0,则Δ=16k2-16>0,所以k2>1.设P,Q两点的坐标分别为(x1,y
2、1),(x2,y2),则x1,x2为方程x2-4kx+4=0的两个解,因此x1+x2=4k,x1x2=4,所以PQ=1+k2x1-x2=41+k2·k2-1,点B(0,1)到直线l的距离d=2k2+1,由三角形BPQ的面积为4,得12·41+k2·k2-1·2k2+1=4,解得k=±2,满足k2>1.因此直线l的方程为2x-y-1=0或2x+y+1=0.(2)把直线l的方程代入x2=2py得x2-2pkx+2p=0,设P,Q两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则x1,x2为方程x2-2pkx+2p=0的两个解,因此x1x
3、2=2p,kBP=y1-1x1=x12-2p2px1=x12-x1x22px1=x1-x22p,同理kBQ=x2-x12p,因此kBP+kBQ=0,因为QB的斜率与PB的斜率的乘积为-3,所以QB的斜率为-3,从而∠BMN=∠BNM=60°,即△MNB为正三角形.因为BO为正三角形MNB的高,且BO=1,所以MN=233.2.(2017浙江高考样卷)如图,已知椭圆x22+y2=1的左、右顶点分别是A,B,设点P(2,t)(t>0),连接PA交椭圆于点C,坐标原点是O.(1)证明:OP⊥BC;(2)若四边形OBPC的面积是325,求t
4、的值.(1)证明设直线PA的方程为y=t22(x+2),由x22+y2=1,y=t22(x+2),整理得(4+t2)x2+22t2x+2t2-8=0,解得x1=-2,x2=42-2t24+t2,则点C的坐标是42-2t24+t2,4t4+t2,故直线BC的斜率kBC=-2t,由于直线OP的斜率kOP=t2,故kBC·kOP=-1,则OP⊥BC;(2)解由S四边形OBPC=325,S四边形OBPC=2t3+22t4+t2,得2t3+22t4+t2=325,整理得(t-1)(5t2+2t+12)=0,∵5t2+2t+12≠0,∴t=1.
5、3.(2018浙江4月摸底)已知抛物线C的顶点在原点,焦点在x轴上,且该抛物线上有一点P(4,m)到焦点的距离为5.(1)求抛物线C的方程;(2)已知抛物线上一点M(t,4),过点M作抛物线的两条弦MD和ME,且MD⊥ME,判断直线DE是否过定点?并说明理由.解(1)由题意设抛物线C的方程为y2=2px(p>0),其准线方程为x=-p2,∵点P(4,m)到焦点的距离等于点P到其准线的距离,∴4+p2=5.∴p=2.∴抛物线C的方程为y2=4x.(2)由(1)可得点M(4,4),可得直线DE的斜率不为0,设直线DE的方程为x=my+t
6、,联立x=my+t,y2=4x,得y2-4my-4t=0,则Δ=16m2+16t>0.()设D(x1,y1),E(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=-4t.∵MD·ME=(x1-4,y1-4)·(x2-4,y2-4)=x1x2-4(x1+x2)+16+y1y2-4(y1+y2)+16=y124·y224-4y124+y224+16+y1y2-4(y1+y2)+16=(y1y2)216-(y1+y2)2+3y1y2-4(y1+y2)+32=t2-16m2-12t+32-16m=0,即t2-12t+32=16m2+16m,得(
7、t-6)2=4(2m+1)2,∴t-6=±2(2m+1),即t=4m+8或t=-4m+4,代入()式检验知t=4m+8满足Δ>0,∴直线DE的方程为x=my+4m+8=m(y+4)+8.∴直线过定点(8,-4).4.已知椭圆L:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22,过点1,22,与x轴不重合的直线过定点T(m,0)(m为大于a的常数),且与椭圆L交于两点A,B(可以重合),点C为点A关于x轴的对称点.(1)求椭圆L的方程;(2)①求证:直线BC过定点M,并求出定点M的坐标;②求△OBC面积的最大值.解(1)由题意可得e
8、=ca=22,1a2+12b2=1,a2-b2=c2,解得a=2,b=1,即椭圆的方程为x22+y2=1.(2)①证明:由对称性可得直线BC过定点,定点在x轴上,设直线l的方程为x=ty+m,A(x1,y1),B(x2,y2),C(x
