运用均值不等式的八类配凑方法

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1、运用均值不等式的八类拼凑方法利用均值不等式求最值或证明不等式是高屮数学的一个重点。在运川均值不等式解题时，我们常常会遇到题中某些式子不便于套用公式，或者不便于利用题设条件，此时需要对题中的式子适当进行拼凑变形。均值不等式等号成立条件具有潜在的运用功能。以均值不等式的取等条件为出发点，为解题提供信息，可以引发出种种拼凑方法。笔者把运用均值不等式的拼凑方法概括为八类。一、拼激定和通过因式分解、纳入根号内、升幕等手段，变为“积”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点,均分系数，拼凑定和，求积的最大值。例1已知Ovxvl,求函数y=-；一兀2

2、+x+i的最大值。解：y=—兀‘（兀+1）+（兀+1）=（兀+1）（1—兀？）=（兀+1）~（1—兀）=4e^e^e（l-X）＜43227当且仅当出=1一1即x=-吋，上式取“=”。故ynnx=—o2327评注：通过因式分解，将函数解析式由“和”的形式，变为“积”的形式，然后利用隐含的“定和”关系,求“积”的最大值。例2求函数y=x2y/l-x2（0

3、号内的目的是集中变元，为“拼凑定和”创造条件。例3已知0<兀<2,求函数y=6x（4-x2）的最大值。解：/=36%2（4-^2）2=18x2%2（4-x2）（4-x2）318x83=o27-X2）＜当且仅当2x2=（4-x2）琴时，上式取ma%18x832732^33二.拼漾定积通过裂项、分子常数化、有理代换等手段，变为“和”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，配项凑定积，创造运用均值不等式的条件例4设x>-l,求函数y二”+'）（"+2）的最小值。X+1解：[（x+l）+4][（x+1）+1]=尢+]+丄+5之2/（乂+1）止

4、+5=9。x+1x+1vX+1当且仅当兀=1时，上式取“=”。故治=9。评注：有关分式的最值问题，若分子的次数高于分母的次数，则可考虑裂项，变为和的形式，然后“拼凑定积”，往往是十分方便的。例5已知%>-1,求函数24（x+0的最大值。（兀+3）2解：x+l>0,24（x+l）_24<24_3（Z+4（M）+「e）+占+。当且仅当兀=1时,上式取“二”。故ymax=3o评注：有关的最值问题，若分子的次数低于分母的次数，可考虑改变原式的结构，将分子化为常数，再设法将分母“拼凑定积”。例6已知Ovxvr,求函数y=-―的最小值。sinxX7T

5、X解：因为0

6、”>0。22211-cosx1+尸13r113rrr所以y=+=+r=—+—>2J=丁3。sinxsinx2t2t22t2当且仅当即心丰,兀二彳时，上式取故ymin=>/3o评注：通过有理代换，化无理为有理，化三角为代数，从而化繁为简，化难为易，创造出运用均值不等式的环境。例7若/+/?3=eR十,求证：a+b<2o分析：基本不等式等号成立的条件具有潜在的运用功能，它能在“等”与“不等”的互化中架设桥梁，能为解题提供信息，开辟捷径。本题已知与要求证的条件是a=h=,为解题提供了信息

7、，发现应拼凑项，巧妙降次，迅速促成“等”与“不等”的辩证转化。证明：V6/3+l3+l3>3^3I3I3=3tz,/?3+l3+l3>3^3l3l3=3/?o.-.a3+b3+4=6>3(a+bY：.a+b<2.当FM乂当a=b=1时，上述各式取“=”，故原不等式得证。评注：本题借助取等号的条件，创造性地使用基本不等式，简洁明了。例8若x3+y3=2,x,yeR'f求x2+/+5^的最大值。解：*/3x1xxxx<1+X3+%3,3x1xyxy<1+y3+y3,3x1x%xy<1+x3+y3,02u/1+疋+/+l+b+b+5(l+F+b

8、)7+7(疋+b)23当且仅当a=b=1时，上述各式取“二”，故x2+y2+5xy的最人值为7。例9已知a,b,c>0,dbc=1,求证：a3+b3+c3>ab+hc+ca®证明：•••l+a'+b'n3xl・a・b,l+b'+c'n3xl・b・c,l+(?+a'n3xl・c・a,二3+2(/+3/a2b2c2=3,.•.3+2(a‘+b'+c‘)X2(a/?+/?c+cd)+3,.:a3+b‘+c3>ab+he+ca。当且仅当a=h=c=1时，上述各式取“=”，故原不等式得证。四、

9、拼痙常教升苯例10若a,b,cwR十,且a+b+c=l,求证a/q+5+Jb+5+>/c+5W4的。分析:a=b=c=Lf3y,巧妙升次，迅速促成“等”与“不等”的辩证转化。故应拼凑证明:§¥