知识讲解-集合的基本关系及运算-基础

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1、集合的基本关系及运算【学习目标】1.理解集合之间包含与相等的含义,能识别一些给定集合的子集.在具体情境中,了解空集和全集的含义.2.理解两个集合的交集和并集的含义,会求两个简单集合的交集与并集•理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集.【要点梳理】要点一:集合之间的关系1•集合与集合之间的“包含”关系集合A是集合B的部分元素构成的集合,我们说集合B包含集合A;子集:如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,我们说这两个集合有包含关系,称集合A是集合B的子集(subset).记作:AcB(或BnA

2、),当集合A不包含于集合B时,记作A@B,用Venn图表示两个集合间的“包含”关系:AcB(或BoA)要点诠释:(1)“A是B的子集”的含义是:A的任何一个元素都是B的元素,即由任意的xgA,能推出xgB.(2)当A不是B的子集时,我们记作“或B£小”,读作:“A不包含于B”(或“B不包含A”).真子集:若集合AcB,存在元素xgB且x^A,则称集合A是集合B的真子集(propersubset).记作:aSb(或B^A)规定:空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.2•集合与集合之间的“相等”关系AcBJ

3、BLBCA,则A与B中的元素是一样的,因此A二B要点诠释:任何一个集合是它本身的子集,记作AcA.要点二:集合的运算1.并集一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,称为集合A与B的并集,记作:AUB读作:“A并B”,B

4、J:AUB={x

5、xgA,或xwB}Venn图表示:(l)“xwA,或xgB”包含三种情况:“兀wA,但兀纟B”;“兀w乩但兀纟A”;“xwA,且xw(2)两个集合求并集,结果还是一个集合,是由集合A与B的所有元素组成的集合(重复元素只出现一次).1.交集一般地,由属于集合A且属

6、于集合B的元素所组成的集合,叫做集合A与B的交集;记作:AQB,读作:“A交B”,即AAB={x

7、xgA,且xgB};交集的Venn图表示:(1)并不是任何两个集合都有公共元素,当集合A与B没有公共元素时,不能说A与B没有交集,而是AHB=0.(2)概念中的“所有”两字的含义是,不仅“ACB中的任意元素都是A与B的公共元素”,同时“A与B的公共元素都属于AC1B”.(3)两个集合求交集,结果还是一个集合,是由集合A与B的所有公共元素组成的集合.2.补集全集:一般地,如果一个集合含有我们所研究问题屮所涉及的所有元

8、素,那么就称这个集合为全集,通常记作U.补集:对于全集U的一个子集A,由全集U屮所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集(complementaryset),简称为集合A的补集,记作:裁A;即uA={x

9、xgA};(1)理解补集概念时,应注意补集QA是对给定的集合A和U(A^U)相对而言的一个概念,一个确定的集合A,对于不同的集合U,补集不同.(1)全集是相对于研究的问题而言的,如我们只在整数范围内研究问题,则Z为全集;而当问题扩展到实数集吋,则/?为全集,这时Z就不是全集.(3)QA表

10、示U为全集时人的补集,如果全集换成其他集合(如/?)时,则记号中“U”也必须换成相应的集合(即4A).1.集合基本运算的一些结论:AnBcA,AnBcB,AcA=A,Ac0=0,AnB=BnAAcAuB,BcAuB,AuA=A,Au0=A,AuB=BuA(瘠A)uA=U,(uA)cA=0若AQB二A,则AcB,反之也成立若AUB=B,则AcB,反之也成立若xw(AOB),则xwA且xwB若xw(AUB),贝iJxgA,或xwB求集合的并、交、补是集合间的基本运算,运算结果仍然还是集合,区分交集与并集的关键是“且

11、”与“或”,在处理有关交集与并集的问题时,常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件,结合Venn图或数轴进而用集合语言表达,增强数形结合的思想方法.【典型例题】类型一:集合间的关系例1.请判断①0^(0};®Re{R};③0w{0};④0£{0};@0={O};@Og{0};®0g{O};⑧0£{0},正确的有哪些?【答案】②③④⑧【解析】①错误,因为0是集合{0}中的元素,应是06{0};②③中都是元素与集合的关系,正确;④⑧正确,因为0是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,而④中的{0}为非空集合;⑤⑥

12、⑦错误,0是没有任何元素的集合.【总结升华】集合的符号语言十分简洁,因而被广泛用于现代数学之中,但往往容易混淆,其障碍在于这些符号与具体意义之间没有直接的联系,突破方法是熟练地掌握这些符号的具体含义.举一反三:【变式1】用适当的符号填空:(1){x

13、

14、x

15、Wl}{x

16、x'Wl};(2){y

17、y=2x2}{yIy=3x2-l};(3){x

18、

19、x

20、>l}{x

21、x>l};(4){(x,y)

22、

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