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《 2020年新高考数学一轮复习考点题型深度剖析专题40立体几何中的向量方法证明平行与垂直课后层级训练含解析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、课下层级训练(四十) 证明平行与垂直[A级 基础强化训练]1．(2019·陕西西安质检)若平面α，β的法向量分别是n1＝(2，－3,5)，n2＝(－3,1，－4)，则( )A．α∥βB．α⊥βC．α，β相交但不垂直D．以上答案均不正确【答案】C [∵n1·n2＝2×(－3)＋(－3)×1＋5×(－4)≠0，∴n1与n2不垂直，且不共线．∴α与β相交但不垂直．]2．(2018·辽宁锦州模拟)直线l的方向向量s＝(－1,1,1)，平面α的法向量为n＝(2，x2＋x，－x)，若直线l∥平面α，则x的值为( )A．－2B．－C．D．±【答案】D [由已知得s·n＝0，故－1×2＋1×
2、(x2＋x)＋1×(－x)＝0，解得x＝±.]3．已知平面α内有一点M(1，－1,2)，平面α的一个法向量为n＝(6，－3,6)，则下列点P中，在平面α内的是( )A．P(2,3,3)B．P(－2,0,1)C．P(－4,4,0)D．P(3，－3,4)【答案】A [逐一验证法，对于选项A，＝(1,4,1)，∴·n＝6－12＋6＝0，∴⊥n，∴点P在平面α内，同理可验证其他三个点不在平面α内．]4．如图，F是正方体ABCDA1B1C1D1的棱CD的中点．E是BB1上一点，若D1F⊥DE，则有( )A．B1E＝EBB．B1E＝2EBC．B1E＝EBD．E与B重合【答案】A [分别以
3、DA、DC、DD1为x、y、z轴建立空间直角坐标系(图略)，设正方体的棱长为2，则D(0,0,0)，F(0,1,0)，D1(0,0,2)，设E(2,2，z)，＝(0,1，－2)，＝(2,2，z)，∵·＝0×2＋1×2－2z＝0，∴z＝1，∴B1E＝EB.]5．如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE.则M点的坐标为( )A．(1,1,1)B．C．D．【答案】C [设AC与BD相交于O点，连接OE，由AM∥平面BDE，且AM⊂平面ACEF，平面ACEF∩平面BDE＝OE，∴AM∥EO，又O是正方形ABCD对角线交点，∴M
4、为线段EF的中点．在空间坐标系中，E(0,0,1)，F(，，1)．由中点坐标公式，知点M的坐标.]6．在空间直角坐标系中，以点A(4,1,9)，B(10，－1,6)，C(x,4,3)为顶点的△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，则实数x的值为________.【答案】2 [由题意知·＝0，
5、
6、＝
7、
8、，又＝(6，－2，－3)，＝(x－4,3，－6)，∴解得x＝2.]7．已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是CD，PC的中点，并且PA＝AD＝1.在如图所示的空间直角坐标系中，则MN＝________.【答案】 [连接PD，∵M，N分别为CD，PC的中点，∴MN＝PD，
9、又P(0,0,1)，D(0,1,0)，∴PD＝＝，∴MN＝.]8．如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM的位置关系是________.【答案】垂直 [以A为原点，分别以，，所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系(图略)，设正方体的棱长为1，则A(0,0,0)，M，O，N，·＝·＝0，∴ON与AM垂直．]9．如图，在四面体ABCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝2，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC.证明：PQ∥平面BCD.【答案】证明 如
10、图，取BD的中点O，以O为原点，OD，OP所在射线分别为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz.由题意知，A(0，，2)，B(0，－，0)，D(0，，0)．设点C的坐标为(x0，y0,0)．因为＝3，所以Q.因为M为AD的中点，故M(0，，1)．又P为BM的中点，故P，所以＝.又平面BCD的一个法向量为a＝(0,0,1)，故·a＝0.又PQ⊄平面BCD，所以PQ∥平面BCD.10．(2019·山东聊城模拟)如图，在三棱锥PABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.(1)证明：AP⊥BC；(2)若
11、点M是线段AP上一点，且AM＝3.试证明平面AMC⊥平面BMC.【答案】证明 (1)如图所示，以O为坐标原点，分别以射线OD，OP为y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系Oxyz.则O(0,0,0)，A(0，－3,0)，B(4,2,0)，C(－4,2,0)，P(0,0,4)，于是＝(0,3,4)，＝(－8,0,0)，∴·＝(0,3,4)·(－8,0,0)＝0，∴⊥，即AP⊥BC.(2)由(1)知
12、AP
13、＝5，又
14、AM
15、＝3，且点M在线段AP上，∴＝＝，又＝(－4，－5,0)，∴＝＋
