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1、2.1.2根与系数的关系（韦达定理〉若一元二次方程cuc2+bx+c=O（的4）有两个实数根则有-b+jb^-4ac-b-yjb2-Aac-b+yjb^-4ac-b-^b1-4ac-2bbXi+X9=H==2a2a2aa-b+b^-4ac-b-yjb2-4ac_b2-(b2-4ac)_4ac_c2a4a24a2a所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系:bc如果ax2+bx+c=O（«#0）的两根分别是工1，x19那么xi+x2=,x2=—・这一关系也aa被称为韦达定理.待别地，对于二次项系数为1的一元二次方程+=若七，兀2是其两根，由
2、韦达定理可知兀1+兀2=—/力兀1•x?=q，即p=—（兀
3、+无2），所以，方程x+px+q=0可化为x—（%i+x2）x+x]-x2=0,由于兀
4、,疋是一元二次方程^+px+q=0的两根，所以，X1，兀2也是一元二次方程兀2—（兀1+尤2）兀+兀1之2=0・因此有以两个数心，Q为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2—（xj+x2）x+xrx2=0.例2己知方程5川+也一6=0的一个根是2,求它的另一个根及R的值.分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出£的值，再由方程解出另一个根.但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定
5、理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根Z积求岀方程的另一个根，再由两根Z和求岀£的值.解法一：・・・2是方程的一个根，A5x22+*x2-6=0,:.k=-7.3所以，方程就为5.V2—7%—6=0,解得七=2,兀2=—3所以，方程的另一个根为一三，£的值为一7.5解法二：设方程的另一个根为q,贝2七=一°,・・・£=—?.3k由（一一）+2=——、得k=~7.553所以，方程的另一个根为一一，R的值为一7・5例3已知关于兀的方程"+2（加一2）兀+/+4=0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根
6、的积大21,求加的值.分析：本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m的方程，从而解得〃?•的值.但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零.解：设兀2是方程的两根，由韦达定理，得°兀1+兀2=—2（加一2）,£•兀2=〃广+4.*.*X^+X2~X之2=21,（%1+^2）2—3X1之2=21,B
7、J[一2（加一2）]2—3（m+4）=21,化简，得m—16m—17=0,解得m=—1,或加=17.当加=—1时，方程为,+6x+5=0,A>0,满足题意；当加=17时，方程为<+3
8、0.工+293=0,A=302-4xlx293<0,不合题意，舍去.综上，加=17.说明：（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的加的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大2L求出m的值，取满足条件的m的值即可.（1）在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式△是否大于或大于零.因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根.例4已知两个数的和为4,积为一12,求这两个数.分析：我们可以设出这两个数分别为兀，y,利用二元方程求解出这两个数.也可以利用韦达定理转化出一元二次方程來求解.解
9、法一：设这两个数分别是兀，），，则x+y=4,①xy=—2・②由①，得y=4—尤，代入②，得兀（4_兀）=—12,即?-4x-12=0,••X——2,兀2=6・因此，这两个数是一2和6.解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程x-4x-2=0的两个根.解这个方程，得X=—2,兀2=6・所以，这两个数是一2和6.说明：从上面的两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解法一简捷.例5若X］和兀2分别是一元二次方程2x2+5x—3=0的两根.（1）求
10、q—劝的值；（2）求A+丄的值；（3）兀F+兀2‘・解:Vxi和也分别是一元
11、二次方程2x2+5x-3=o的两根，53(1)25,49=——+6=——,44•'•l兀]_兀2
12、=—5325⑵1
13、(西+审一2粘—(二尸一"-/—怎启=37呼X22x^x22(x}x2)2(_占29924(3)X3+x^=(X+兀2)(X12—%1X2+X22)=(X1+兀2)[(Q+^2)2—3^1%2]55?3215=(_=)x[(_=)「_3x(_=)]=_■说明：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：设七和也分别是一元二次方程ax53*•*IXL兀
14、2
15、2=兀/+X22-2兀1兀2=(兀1+兀2)2—4X[X2=(——)**—4X(——)+bx+c=0（°去0）,贝I」-b+lb2-4ac-b-
