以“蚂蚁吃糖”地最短路径为例话建模

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1、实用标准§以“蚂蚁吃糖”的最短路径为例话建模课改十年来，广大数学教师对数学建模在认识上还知之甚少或重视不够，在实践中还感到难以施展甚至一筹莫展.因此，颇有必要对如何建立数学模型展开研讨与交流.笔者认为数学建模的过程应倡导“问题情境—建立模型—诊释模型—变式拓展—实践应用”的教学模式.本文试以“蚂蚁吃糖的最短路径问题”为例，对数学建模教学进行探讨.1.建模的重要意义.把一个实际问题抽象为用数学符号表示的数学问题，即称为数学建模，被抽象的数学问题叫数学模型.数学模型能解释特定现象的现实状态，能预测对象的未来状况，能提供处

2、理对象最有效的决策.在数学教育中开展数学建模的教育，能培养学生对解决问题的浓厚兴趣和进行科学探究的强烈意识，培养学生不断进取和不怕困难的良好学风，培养学生分析问题和解决问题的能力，培养学生敏锐的洞察力、丰富的想象力和持久的创造力，培养学生的团结协作精神和数学素养.2.建模的一般方法.根据课程标准，教材向学生提供了大量现实、有趣、富有挑战性的学习内容，这些内容以“问题情境—建立模型—让释模型—变式拓展—实践应用”的基本形式呈现，这也正是建立数学模型的常用方法.问题情境.将现实生活中的问题引进课堂，根据问题的特征和目的，

3、对问题进行简化，并用精确的数学语言加以描述.文案大全实用标准建立模型.在假设的基础上，利用适当的数学工具、数学知识来刻画事物之间的数量关系或内部关系，建立相应的数学结构.诊释模型.对模型求解，并将求解结果与实际情况相比较，以此来验证模型的科学性.变式拓展.将已求得的数学模型进行变形，拓展引申到相应的问题之中，用求得的模型来解释新的问题.实践应用.将求得的模型应用到对应的实际问题之中，使原本复杂的问题得以简化.三、建模的典型示例1.模型引入—孕育一个现实的问题.目自。引例如图1，蚂蚁在一只圆柱形杯子的底部边沿某处，糖粘

4、在内底边沿的正对面处，能找到蚂蚁从外面爬进杯子里去享受佳肴的最短路径吗?设计意图:蚂蚁和糖分别处在杯子的“内层”和“外层”，此题具有很强的挑战性，由此可以引发学生强烈的求知欲望.2.模型识别—联想一个熟悉的问题.笔者当时也觉得此题很有挑战性，后来细想，其实这个问题的解决思想在课本上已有所体现.人教版数学七年级上册第’134页作业第10题:如图2，一只蚂蚁要从正方体的一个顶点A沿表面爬行到点B，怎样爬行路线最短?分析这是数学中一个很有趣的“蚂蚁吃糖“文案大全实用标准问题，据说昆虫有一种天性，它的嗅觉特灵，似乎很擅长于数

5、学中的几何学，总能选择一种最佳路线去获取食物.那么最短路径在何方呢?由于两点之间线段最短，而现在的两点是在立方体上，因此有必要把三维空间转化为二维平面.不妨把右侧面绕侧棱顺时针旋转90“，使它与正面在同一个平面内接成一个矩形，再连接AC交侧棱于点O，连接OB，则路线A→O→B就是最短路线(如图3).又由于不同的侧面都可展开，每个侧面都全等，因此共有6条相等长度的路线，设计意图:此题来自教材，学生都很熟悉，并且解决此题的办法是学生十分熟悉的公理“两点之间线段最短”的简单应用.3.模型提炼—引申这个熟悉的问题.立方体上蚂

6、蚁吃糖的问题如此，长方体上蚂蚁吃糖问题又会怎样?笔者不由的想起了杜登尼，19世纪英国著名的迷题创作者，“蚂蚁吃糖”其实来源于他创作的“蜘蛛和苍蝇的问题”:如图4，在一个长、宽、高分别为3m、2m、2m的长方体房间内，一只蜘蛛在一面墙的中间离天花板0.lm处(点A处)苍蝇在对面墙的中间，离地面0.lm处(点B处)，试问，蜘蛛去捉苍蝇需要爬行的最短距离是多少?分析把长方体的侧面展开后归纳起来可以分4种情况:文案大全实用标准(1)如图5，AB=0.1+3+1.9=5(m);(2);(3);(4).经过比较，可知第一种情况的

7、路径最短.由此我们发现:(1)当长、高相等时横向展开和纵向展开所求得的路程远近相同，即长、高相等两路皆近;(2)高“小”纵向展开走的路近，长“小”横向展开走的路近，即谁小走谁近于是，针对引例中的问题，估计会有这么一个想法:如图9，糖粘在杯子的外表面就简单了，如粘在正外对面的B处，可以把圆柱(半径为3cm，高为5cm)沿着点A所在的侧棱进行侧面展开，于是得到一个矩形，糖就粘在杯子上边沿圆周长一半处.设计意图:有上例作铺垫，通过转化得到一个“文案大全实用标准最短路线极值模型”:把立体图形沿侧面展开，利用“两点之间线段最短

8、”，求最短路径.4.模型分析一一化归这个熟悉的问题.可是题目中的糖却粘在正对面的内表面处，这时思路的关键是把圆柱形杯子侧面看成里外两层，好比一张矩形的纸上下对折后，对折线当作杯子的上边沿，再让左右两边重合卷出来的圆柱形杯子，让蚂蚁停在外一层矩形的下底边的左端点处，糖粘在里一层矩形的下底边的中点处.解题时需把折进去的里层拉出来，原圆柱就变成高度是